张量运算性质详解：线性、对称、缩并、张量积、改变指标

张量的运算性质可以分为以下几类：/n/n1. 线性性质：张量运算是线性的，即若$T_1$和$T_2$是同阶张量，$a$和$b$是任意常数，则有/n$$aT_1+bT_2$$/n也是一个同阶张量。/n/n2. 对称性质：若$T$是一个$(p,q)$型张量，则$T$的第$i$个下标和第$j$个下标可以互换，即/n$$T_{/cdots i/cdots j/cdots} = T_{/cdots j/cdots i/cdots}$$/n/n3. 缩并性质：若$T$是一个$(p,q)$型张量，且$k$为任意一维，则/n$$S_k(T) = T_{i_1/cdots i_{k-1}ki_{k+1}/cdots i_q}$$/n是一个$(p-1,q-1)$型张量。/n/n4. 张量积性质：若$T_1$是一个$(p_1,q_1)$型张量，$T_2$是一个$(p_2,q_2)$型张量，则它们的张量积$T_1/otimes T_2$是一个$(p_1+p_2,q_1+q_2)$型张量。/n/n5. 改变指标性质：若$T$是一个$(p,q)$型张量，$f$是一个$(p_1,p_2,/cdots,p_k)$型张量，$g$是一个$(q_1,q_2,/cdots,q_k)$型张量，则/n$$T_{i_1/cdots i_p j_1 /cdots j_q}f_{i_1/cdots i_k}g_{j_1 /cdots j_k}$$/n是一个$(p_1,p_2,/cdots,p_k,q_1,q_2,/cdots,q_k)$型张量。