张量运算性质详解 - 线性、对称、反对称、缩并

张量的运算性质包括：/n/n1. 线性性质：张量对于数乘和加法运算具有线性性质，即对于任意实数 'a' 和 'b'，以及任意两个张量 'T_1' 和 'T_2'，有：/n/n$$//begin{aligned}//&a(T_1+T_2) = aT_1+aT_2////&(a+b)T_1 = aT_1+bT_1//end{aligned}$$/n/n2. 对称性质：对于具有对称性的张量，交换其任意两个分量得到的张量是相等的。即，如果 'T_{i_1i_2//cdots i_n}' 是一个对称张量，则有：/n/n$$//T_{i_1i_2//cdots i_n} = T_{i_{//pi(1)}i_{//pi(2)}//cdots i_{//pi(n)}}/qquad (//forall //pi//in S_n)$$/n/n其中 'S_n' 表示 'n' 个元素的排列群。/n/n3. 反对称性质：对于具有反对称性的张量，交换其任意两个分量得到的张量符号相反。即，如果 'T_{i_1i_2//cdots i_n}' 是一个反对称张量，则有：/n/n$$//T_{i_1i_2//cdots i_n} = -T_{i_{//pi(1)}i_{//pi(2)}//cdots i_{//pi(n)}}/qquad (//forall //pi//in S_n)$$/n/n4. 缩并性质：对于一个 'n' 阶张量 'T_{i_1i_2//cdots i_n}' 和一个 'm' 阶张量 'S_{j_1j_2//cdots j_m}'，如果存在一个指标 'k'，使得 'i_k=j_1'，则可以对这两个张量进行缩并操作，得到一个 '(n+m-2)' 阶张量：/n/n$$//(T//otimes S){i_1i_2//cdots i{k-1}i_{k+1}//cdots i_n j_2j_3//cdots j_m} = T_{i_1i_2//cdots i_{k-1}ki_{k+1}//cdots i_n} S_{j_1j_2//cdots j_m}$$/n/n缩并操作可以看作是一个求和运算，将两个张量中对应位置的分量相乘并求和。特别地，当 'm=n=2' 时，缩并得到的张量称为内积（或点积），表示向量的数量积。当 'm=n=3' 时，缩并得到的张量称为向量积（或叉积），表示向量的向量积。