Danskin 定理证明对偶函数可微：严格凸函数应用

根据 Danskin 定理，对于凸函数 $f$ 和其次梯度集合 $G(x)$，存在一个函数 $g$，使得对于任意 $x \in dom(f)$，都有：

$$\ g(y) = \inf_{u \in G(x)} {u^T(y-x)+f(x)}\ $$

同时，$g$ 是 $f$ 的下确界函数，即 $g(x)=f(x)$，并且 $g$ 也是凸函数。

根据对偶函数的定义，我们有：

$$\ g^*(y) = \sup_{x \in dom(f)} {y^Tx-f(x)}\ $$

我们需要证明 $g^$ 是可微的。根据 Fenchel-Rockafellar 定理，$g^$ 的次梯度集合为：

$$\ \partial g^(y) = {x \in dom(g^) | g^(z) \geq g^(y) + (z-y)^Tx, \forall z \in dom(g^*)}\ $$

我们需要证明 $\partial g^(y)$ 非空，即存在一个 $x$，满足对于任意 $z$ 都有 $g^(z) \geq g^*(y) + (z-y)^Tx$。

根据定义，$g^*(y) = \sup_{x \in dom(f)} {y^Tx-f(x)}$，可以得到：

$$\ y^Tx - g^*(y) \leq f(x)\ $$

因为 $f$ 是严格凸的，所以 $f(x)$ 在 $x$ 处的次梯度集合非空，即存在一个 $u \in \partial f(x)$，满足对于任意 $y \in dom(f)$ 都有：

$$\ f(y) \geq f(x) + u^T(y-x)\ $$

将上式代入上面的不等式中，得到：

$$\ y^Tx-g^*(y) \leq f(x) \leq f(y) - u^T(y-x)\ $$

移项可得：

$$\ g^*(y) \geq y^Tx - u^T(y-x) = (u-y)^Tx + y^Tx-f(x)\ $$

因为 $u \in \partial f(x)$，所以 $u \in G(x)$，我们可以将上式再次变形：

$$\ g^*(y) \geq \inf_{u \in G(x)} {(u-y)^Tx + y^Tx-f(x)} = g(x) - y^T(x-y)\ $$

因为 $g(x)=f(x)$，所以：

$$\ g^*(y) \geq f(x) - y^T(x-y)\ $$

因此，我们得到了一个 $x$，满足对于任意 $y$ 都有 $g^(y) \geq f(x) - y^T(x-y)$，即 $x \in \partial g^(y)$。

因此，我们证明了 $\partial g^(y)$ 非空，即 $g^$ 是可微的。