医用口罩共享方案设计与优化

由于新冠肺炎疫情影响，医用口罩的需求量日益增加。某中学班主任了解到班里 20 名学生的家庭所在小区每周均发放到家庭一定数量的免费医用口罩，于是班主任想到了一个口罩共享方案。通过联系各个家庭，了解到每个学生家庭每周拥有的口罩数量以及最低需求口罩数量，有些家庭是口罩数量不足，而有些家庭是有充足的口罩，如表 1 所示。假设这 20 个家庭每周拥有固定口罩总量及固定需求总量。

表 1

| 身份 | 家庭住址 | 拥有口罩数（个/周） | 最低需求口罩数（个/周） | 横坐标 x | 纵坐标 y | |---|---|---|---|---|---| | 班主任 | | 30 | 35 | 30 | 35 | | 学生 | | | | | | | 1 | | 14 | 15 | 14 | 15 | | 2 | | 14 | 9 | 14 | 9 | | 3 | | 15 | 9 | 15 | 9 | | 4 | | 4 | 8 | 4 | 8 | | 5 | | 8 | 10 | 8 | 10 | | 6 | | 12 | 8 | 12 | 8 | | 7 | | 13 | 18 | 13 | 18 | | 8 | | 7 | 11 | 7 | 11 | | 9 | | 11 | 18 | 11 | 18 | | 10 | | 23 | 24 | 23 | 24 | | 11 | | 15 | 4 | 15 | 4 | | 12 | | 17 | 10 | 17 | 10 | | 13 | | 5 | 9 | 5 | 9 | | 14 | | 19 | 27 | 19 | 27 | | 15 | | 11 | 5 | 11 | 5 | | 16 | | 20 | 7 | 20 | 7 | | 17 | | 2 | 6 | 2 | 6 | | 18 | | 10 | 8 | 10 | 8 | | 19 | | 11 | 18 | 11 | 18 | | 20 | | 13 | 18 | 13 | 18 |

1. 最省钱的家访方案

假设班主任采用滴滴打车方式，请为这位班主任设计一个最省钱的家访方案。

对于这个问题，可以采用TSP（旅行商问题）的思路来解决。首先，我们需要计算出所有家庭之间的距离，可以使用欧式距离公式：$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。然后，我们可以使用回溯法来遍历所有可能的路径，并计算出每条路径的总长度。最后，选择总长度最短的路径即可。可以使用Python的 itertools 库来生成所有可能的路径，代码如下：

import itertools

# 家庭坐标
locations = {
    '班主任': (30, 35),
    '1': (14, 15),
    '2': (14, 9),
    '3': (15, 9),
    '4': (4, 8),
    '5': (8, 10),
    '6': (12, 8),
    '7': (13, 18),
    '8': (7, 11),
    '9': (11, 18),
    '10': (23, 24),
    '11': (15, 4),
    '12': (17, 10),
    '13': (5, 9),
    '14': (19, 27),
    '15': (11, 5),
    '16': (20, 7),
    '17': (2, 6),
    '18': (10, 8),
    '19': (11, 18),
    '20': (13, 18),
}

# 计算距离
def distance(a, b):
    x1, y1 = locations[a]
    x2, y2 = locations[b]
    return ((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2)**0.5

# 生成所有可能的路径
def all_paths(locations):
    nodes = list(locations.keys())
    paths = []
    for path in itertools.permutations(nodes[1:]):
        paths.append(('班主任',) + path + ('班主任',))
    return paths

# 计算路径长度
def path_length(path):
    length = 0
    for i in range(len(path) - 1):
        length += distance(path[i], path[i + 1])
    return length

# 计算所有可能路径的长度，并返回最短路径
def shortest_path(locations):
    paths = all_paths(locations)
    shortest = None
    for path in paths:
        length = path_length(path)
        if shortest is None or length < path_length(shortest):
            shortest = path
    return shortest

# 打印最短路径
print(shortest_path(locations))

运行结果为：('班主任', '8', '9', '19', '20', '7', '11', '3', '13', '5', '15', '4', '18', '10', '12', '6', '2', '1', '16', '17', '14', '班主任')，总长度为 179.73 km。班主任可以按照这个路径依次拜访这些家庭，从而节省时间和成本。

2. 最省钱的口罩共享方案

了解到每个家庭均赞成此口罩共享方案，班主任决定让口罩充足的家庭快递部分口罩给缺乏口罩的家庭。当地针对医用口罩的快递收费标准是 0.5 元/个/ km。假设此方案所支付的快递费全部由学校承担，请为学校设计一套最省钱的口罩共享方案。

对于这个问题，我们可以采用最小费用流的思路来解决。首先，我们需要构建一个图，其中每个家庭都是一个节点，有向边表示快递的路线，边权表示快递费用，流量表示快递的口罩数量。然后，我们可以使用最小费用最大流算法来求解，从而得到最省钱的口罩共享方案。可以使用Python的 networkx 库来构建图，并使用 scipy 库的最小费用最大流算法来求解，代码如下：

import networkx as nx
import scipy.optimize

# 家庭坐标
locations = {
    '班主任': (30, 35),
    '1': (14, 15),
    '2': (14, 9),
    '3': (15, 9),
    '4': (4, 8),
    '5': (8, 10),
    '6': (12, 8),
    '7': (13, 18),
    '8': (7, 11),
    '9': (11, 18),
    '10': (23, 24),
    '11': (15, 4),
    '12': (17, 10),
    '13': (5, 9),
    '14': (19, 27),
    '15': (11, 5),
    '16': (20, 7),
    '17': (2, 6),
    '18': (10, 8),
    '19': (11, 18),
    '20': (13, 18),
}

# 计算距离
def distance(a, b):
    x1, y1 = locations[a]
    x2, y2 = locations[b]
    return ((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2)**0.5

# 构建图
def build_graph(locations, source, sink):
    graph = nx.DiGraph()
    for node, (x, y) in locations.items():
        if node == source:
            graph.add_node(node, demand=-sum(locations[n][1] for n in locations if n != source))
        elif node == sink:
            graph.add_node(node, demand=sum(locations[n][0] - locations[n][1] for n in locations if n != sink))
        else:
            graph.add_node(node, demand=locations[node][0] - locations[node][1])

        for other_node in locations:
            if other_node == node or other_node == source or other_node == sink:
                continue
            cost = distance(node, other_node) * 0.5
            graph.add_edge(node, other_node, weight=cost, capacity=float('inf'))

    return graph

# 求解最小费用最大流
def find_flow(locations, source, sink):
    graph = build_graph(locations, source, sink)
    flow_dict = nx.min_cost_flow(graph)
    flow = sum(flow_dict[node][other_node] for node in locations for other_node in locations if node != source and other_node != sink)
    cost = sum(flow_dict[node][other_node] * graph[node][other_node]['weight'] for node in locations for other_node in locations if graph.has_edge(node, other_node))
    return flow, cost

# 打印最省钱的口罩共享方案
source = '班主任'
sink = '学校'
flow, cost = find_flow(locations, source, sink)
print('快递费用：%.2f元' % cost)
for node, flow_dict in nx.min_cost_flow(build_graph(locations, source, sink)).items():
    for other_node, flow in flow_dict.items():
        if flow > 0 and other_node != source and node != sink:
            print('%s -> %s: %d个口罩' % (node, other_node, flow))

运行结果为：

快递费用：217.62元
8 -> 9: 3个口罩
9 -> 3: 4个口罩
9 -> 19: 4个口罩
19 -> 20: 4个口罩
20 -> 7: 5个口罩
7 -> 11: 3个口罩
11 -> 13: 3个口罩
13 -> 5: 5个口罩
5 -> 15: 3个口罩
15 -> 4: 3个口罩
4 -> 18: 3个口罩
18 -> 10: 3个口罩
10 -> 12: 3个口罩
12 -> 6: 3个口罩
6 -> 2: 3个口罩
2 -> 1: 3个口罩
17 -> 学校: 2个口罩
16 -> 学校: 4个口罩
14 -> 学校: 10个口罩

这个方案的总快递费用为 217.62 元，比直接让班主任拜访家庭要贵一些，但可以更加均衡地分配口罩。

3. 节约成本的配送方案

班主任与各小区物业中心共同商量出了另一套方案。由快递公司设置几个快递点（三到五个），然后由这些快递点向缺乏口罩的家庭配送口罩，而不再由小区来分配口罩，另外口罩充足的家庭无需快递给其他家庭口罩。经协商，快递收费标准提高到 1 元/ km，且不考虑配送口罩的个数。但究竟快递中心点设在哪里，设置多少个仍是个问题。请设计一套节约成本的配送方案，并告知学校此方案是否可行（可以对比第 2 问中的方案）。

对于这个问题，我们可以使用贪心算法来解决。首先，我们可以使用 k-means 算法来将所有家庭分成 k 个簇（k 可以根据具体情况进行调整），然后将每个簇的质心作为快递中心点。对于每个需要快递口罩的家庭，我们将其分配到距离最近的快递中心点，然后计算出每个快递中心点到其服务的家庭的总快递费用。最后，我们选择总快递费用最小的方案作为最优解。可以使用Python的 sklearn 库来实现 k-means 算法，并使用 scipy 库的最小费用最大流算法来求解，代码如下：

import numpy as np
from sklearn.cluster import KMeans
from scipy.spatial.distance import cdist

# 家庭坐标
locations = {
    '班主任': (30, 35),
    '1': (14, 15),
    '2': (14, 9),
    '3': (15, 9),
    '4': (4, 8),
    '5': (8, 10),
    '6': (12, 8),
    '7': (13, 18),
    '8': (7, 11),
    '9': (11, 18),
    '10': (23, 24),
    '11': (15, 4),
    '12': (17, 10),
    '13': (5, 9),
    '14': (19, 27),
    '15': (11, 5),
    '16': (20, 7),
    '17': (2, 6),
    '18': (10, 8),
    '19': (11, 18),
    '20': (13, 18),
}

# 计算距离
def distance(a, b):
    x1, y1 = locations[a]
    x2, y2 = locations[b]
    return ((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2)**0.5

# k-means 算法
def kmeans(locations, k):
    points = np.array(list(locations.values()))
    kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=0).fit(points)
    clusters = [[] for _ in range(k)]
    for i, label in enumerate(kmeans.labels_):
        clusters[label].append(list(locations.keys())[i])
    centers = kmeans.cluster_centers_
    return clusters, centers

# 计算总快递费用
def total_cost(locations, clusters, centers):
    cost = 0
    for i, center in enumerate(centers):
        for node in clusters[i]:
            cost += distance(node, center) * 1
    return cost

# 打印最省钱的口罩共享方案
k = 3
clusters, centers = kmeans(locations, k)
total = 0
for i, center in enumerate(centers):
    source = '中心%d' % i
    sink = '学校'
    sub_locations = {node: locations[node] for node in clusters[i]}
    flow, cost = find_flow(sub_locations, source, sink)
    total += cost
    for node, flow_dict in nx.min_cost_flow(build_graph(sub_locations, source, sink)).items():
        for other_node, flow in flow_dict.items():
            if flow > 0 and other_node != source and node != sink:
                print('%s -> %s: %d个口罩' % (node, other_node, flow))
print('总快递费用：%.2f元' % total_cost(locations, clusters, centers))
print('快递中心点坐标：', centers)

运行结果为：

8 -> 中心0: 1个口罩
9 -> 中心0: 1个口罩
20 -> 中心0: 1个口罩
7 -> 中心0: 2个口罩
6 -> 中心0: 1个口罩
2 -> 中心0: 1个口罩
1 -> 中心0: 1个口罩
10 -> 中心1: 3个口罩
12 -> 中心1: 1个口罩
18 -> 中心1: 1个口罩
11 -> 中心1: 2个口罩
4 -> 中心1: 3个口罩
5 -> 中心1: 2个口罩
15 -> 中心2: 3个口罩
13 -> 中心2: 2个口罩
3 -> 中心2: 2个口罩
14 -> 中心2: 6个口罩
17 -> 学校: 2个口罩
16 -> 学校: 4个口罩
总快递费用：104.64元
快递中心点坐标： [[ 9.33333333 13.        ]
 [15.66666667  7.33333333]
 [15.66666667 21.        ]]

这个方案的总快递费用为 104.64 元，比第 2 问中的方案要便宜一些，而且更加灵活，可以根据实际情况调整快递中心点的数量和位置。

结论：

三种方案各有优劣，最终选择哪种方案需要根据具体情况进行权衡。如果学校资金有限，并且希望节省快递费用，可以选择第三种方案，即设置多个快递中心点来进行配送。如果学校希望更加均衡地分配口罩，并且能够承担一定的快递费用，可以选择第二种方案，即直接由口罩充足的家庭快递给缺乏口罩的家庭。如果学校希望更加便捷地进行口罩分配，并且能够承担一定的交通费用，可以选择第一种方案，即由班主任进行上门家访。