如何计算定积分 ∫√(x^2+4)dx 在区间 [0, 1] 上的值

首先，我们可以对根号(x^2+4) 进行一些变形，使得它更容易积分。可以考虑令 x=2tanθ，这样根号(x^2+4) 就变成了 2secθ。同时，dx=2sec^2θ dθ。将这些代入原式中，得到：

∫√(x^2+4)dx = ∫2secθ * 2sec^2θ dθ = 4∫sec^3θ dθ

现在我们需要求解 4∫sec^3θ dθ 在 0-π/4 上的定积分。这可以使用分部积分法来解决。令 u=secθ，dv=sec^2θ dθ， 则 du=secθ tanθ dθ，v=tanθ。将这些代入分部积分公式中，得到：

4∫sec^3θ dθ = 4[secθ tanθ - ∫tan^2θ secθ dθ] = 4[secθ tanθ - ∫(sec^2θ - 1) secθ dθ] = 4[secθ tanθ - ∫sec^3θ dθ + ∫secθ dθ]

现在我们需要解决 ∫sec^3θ dθ 和 ∫secθ dθ 这两个积分。对于 ∫secθ dθ，我们可以使用 ln 函数的导数来得到它的积分，即：

∫secθ dθ = ln|secθ + tanθ| + C

对于 ∫sec^3θ dθ，我们可以使用一个简单的技巧，将 sec^3θ 分解为 secθ 和 sec^2θ，然后将 secθ 移项得到：

∫sec^3θ dθ = 1/2∫secθ * (2sec^2θ) dθ = 1/2∫secθ * (sec^2θ + 1 - 1) dθ = 1/2[∫sec^3θ dθ + ∫secθ dθ - ∫dθ] = 1/2[∫sec^3θ dθ + ln|secθ + tanθ| - θ] + C

现在我们可以将这些积分结果代入最开始的式子中，得到：

4∫sec^3θ dθ = 4[secθ tanθ - 1/2∫sec^3θ dθ - 1/2ln|secθ + tanθ| + θ] + C

将 1/2∫sec^3θ dθ 移到等号左边，得到：

9/2∫sec^3θ dθ = 4[secθ tanθ - 1/2ln|secθ + tanθ| + θ] + C

现在我们可以将 θ 从 0 到 π/4 代入这个式子，得到：

9/2∫sec^3θ dθ = 4[1 + ln(2+√2)] 因此，∫√(x^2+4)dx 在 0-1 上的定积分为：

∫√(x^2+4)dx = 2∫secθ * 2sec^2θ dθ = 2 * 4/9 * [1 + ln(2+√2)] = 8/9 + 8/9ln(2+√2)