张量外积详解：向量、矩阵、张量外积运算

张量外积是指将两个张量相乘得到一个新的张量的操作。外积通常用于向量叉乘、矩阵乘法和张量乘法等领域。/n/n对于两个向量 'u' 和 'v'，它们的外积定义为：/n/n$$/mathbf{u} /times /mathbf{v} = /begin{vmatrix} /mathbf{i} & /mathbf{j} & /mathbf{k} // u_1 & u_2 & u_3 // v_1 & v_2 & v_3 /end{vmatrix}$$ /n/n其中 'i'，'j' 和 'k' 分别表示三维空间中的 'x'，'y' 和 'z' 方向的单位向量，'u_1'，'u_2' 和 'u_3' 分别表示 'u' 在 'x'，'y' 和 'z' 方向的分量，'v_1'，'v_2' 和 'v_3' 分别表示 'v' 在 'x'，'y' 和 'z' 方向的分量。这个式子的值是一个新的向量，它的大小等于两个向量围成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。/n/n对于两个矩阵 'A' 和 'B'，它们的外积定义为：/n/n$$(A /otimes B){ij,kl} = A{ij} B_{kl}$$ /n/n其中 'A_{ij}' 和 'B_{kl}' 分别表示矩阵 'A' 和 'B' 中第 'i' 行第 'j' 列和第 'k' 行第 'l' 列的元素值。这个式子的值是一个新的矩阵，它的大小等于 'A' 和 'B' 的行数和列数的乘积，元素值等于对应位置的元素值相乘。/n/n对于两个张量 'T' 和 'S'，它们的外积定义为：/n/n$$(T /otimes S){i_1,i_2,/dots,i_m,j_1,j_2,/dots,j_n} = T{i_1,i_2,/dots,i_m} S_{j_1,j_2,/dots,j_n}$$ /n/n其中 'T_{i_1,i_2,/dots,i_m}' 和 'S_{j_1,j_2,/dots,j_n}' 分别表示张量 'T' 和 'S' 中第 'i_1' 行第 'i_2' 列 ... 第 'i_m' 个维度和第 'j_1' 行第 'j_2' 列 ... 第 'j_n' 个维度的元素值。这个式子的值是一个新的张量，它的大小等于 'T' 和 'S' 中各个维度的大小的乘积，元素值等于对应位置的元素值相乘。