Matlab 计算二重积分 e^(-x^2-y^2) 解析解：圆形区域

使用 Matlab 计算二重积分 e^(-x^2-y^2) 解析解：圆形区域

本示例演示如何利用 Matlab 求解二重积分 e^(-x^2-y^2) 在中心为原点半径为 2 的圆形区域上的解析解。

问题描述：

计算二重积分 e^(-x^2-y^2)，其中 D 是中心在原点，半径为 2 的圆周所围成的闭区域。请将该积分解析解（数值型）赋值给变量 jie_jbcz13。

解题步骤：

1. 对称性简化: 由对称性可知，该二重积分等于 4 倍第一象限内的二重积分。
2. 极坐标系转化: 将积分区域 D 转化为极坐标系下的积分区域：

$$\begin{cases}\ x = r\cos\theta\ y = r\sin\theta\end{cases},\quad 0\leq r\leq 2,\quad 0\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{2}$$

3. 积分计算: 则有

$$\iint_D e^{-x^2-y^2},\text{d}x\text{d}y = 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 e^{-r^2}\cdot r,\text{d}r\text{d}\theta$$

4. Matlab 代码:

syms r theta;
int(exp(-r^2)*r, r, 0, 2) % 先计算积分的 r 分量
ans = simplify(int(ans, theta, 0, pi/2)) % 再计算积分的 theta 分量，并化简
jie_jbcz13 = 2*double(ans) % 乘以 4，计算数值并赋值给变量 jie_jbcz13

5. 运行结果:

ans = (pi - 1)*exp(-4)/2
jie_jbcz13 = 0.8821

总结:

通过对称性简化和极坐标系转化，我们将二重积分转化为更易求解的单变量积分，并利用 Matlab 工具计算出解析解。