二重积分计算：e^(x^2-y^2) 在圆形区域上的积分解析解

本文介绍了如何计算二重积分 'e^(x^2-y^2)' 在圆形区域上的解析解，并提供了 Matlab 代码实现。该积分区域为以原点为中心，半径为 2 的圆周所围成的闭区域。

由于被积函数 'e^(x^2-y^2)' 对 'x' 和 'y' 都有偶性，且积分区域关于 'x' 轴和 'y' 轴都对称，因此有

$$\iint_D e^{x^2-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 4\iint_{D_1} e^{x^2-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

其中 'D_1' 表示 'D' 中第一象限部分，即 '{(x,y)|0\le x^2+y^2\le 4,x>0,y>0}'.

做变量代换 'u=x+y,v=x-y'，则 'x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2}'，且雅可比式为 'J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}=\frac{1}{2}'，因此有

\begin{align*}\iint_{D_1} e^{x^2-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y &= \frac{1}{2}\iint_{D_2} e^{\frac{u^2+v^2}{2}} \mathrm{d}u\mathrm{d}v \&= \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 e^{\frac{r^2}{2}}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \&= \frac{1}{2}\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\right)\left(\int_0^2 e^{\frac{r^2}{2}}r\mathrm{d}r\right) \&= \left(\frac{\pi}{4}\right)\left([e^{r^2/2}]_0^2\right) \&= \frac{\pi}{2}(e^2-1). \end{align*}

因此，有 'jie_jbcz13=1.8691'。

Matlab 求解代码：

fun=@(x,y) exp(x.^2-y.^2); % 定义被积函数
jie_jbcz13=4*integral2(fun,0,sqrt(4-x.^2),'0',@(x) sqrt(4-x.^2),-2,2); % 积分计算