显式欧拉法求解常微分方程初值问题及稳定性分析

首先将两个一阶常微分方程转化为向量形式：

$$\frac{d}{dt}\begin{pmatrix} u \ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 6 \ 3 & -7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \ v \end{pmatrix}$$

令 $y(t) = \begin{pmatrix} u(t) \ v(t) \end{pmatrix}$，则有 $y'(t) = Ay(t)$，其中 $A = \begin{pmatrix} -4 & 6 \ 3 & -7 \end{pmatrix}$。

采用显式欧拉法，有

$$\newline y_{n+1} = y_n + hAy_n = (I + hA)y_n$$

其中 $h$ 为时间步长。

对于显式欧拉法，稳定性条件为

$$\newline |h\lambda_i| \leq 1$$

其中 $\lambda_i$ 为矩阵 $A$ 的特征值。计算可得 $\lambda_1 = -9$，$\lambda_2 = -2$。因此，时间步长的稳定区间为

$$\newline 0 < h \leq \frac{2}{9}$$

现在开始求解该初值问题。取时间步长 $h=0.1$，则有

$$\newline \begin{aligned}\newline y_0 &= \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} \newline y_1 &= y_0 + hAy_0 = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} + 0.1\begin{pmatrix} -4 & 6 \ 3 & -7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1.1 \ -0.4 \end{pmatrix} \newline y_2 &= y_1 + hAy_1 = \begin{pmatrix} -1.1 \ -0.4 \end{pmatrix} + 0.1\begin{pmatrix} -4 & 6 \ 3 & -7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1.1 \ -0.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.222 \ -0.138 \end{pmatrix} \newline y_3 &= y_2 + hAy_2 = \begin{pmatrix} -0.222 \ -0.138 \end{pmatrix} + 0.1\begin{pmatrix} -4 & 6 \ 3 & -7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -0.222 \ -0.138 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.04456 \ -0.02732 \end{pmatrix} \newline \vdots \newline \end{aligned}$$

依此类推，直到求得 $y(1)$ 的近似值。