MATLAB 最小生成树算法求解家庭口罩分配方案

以下是 MATLAB 代码实现：

% 输入数据
data = [1 18 12 14 15;
        2 23 17 14 9;
        3 10 0 15 9;
        4 15 25 4 8;
        5 13 10 8 10;
        6 20 20 12 8;
        7 20 25 13 18;
        8 32 15 7 11;
        9 15 18 11 18;
        10 24 9 23 24;
        11 3 8 15 4;
        12 33 3 17 10;
        13 34 26 5 9;
        14 37 23 19 27;
        15 18 4 11 5;
        16 42 8 20 7;
        17 50 23 2 6;
        18 53 16 10 8;
        19 55 38 11 18;
        20 7 42 13 18];

% 计算差值
diffneed = data(:, 4) - data(:, 5);
diffneed = diffneed';

% 构建无向图邻接矩阵
n = size(data, 1);
graph = zeros(n, n);
for i = 1:n
    for j = i+1:n
        dist = norm(data(i, 2:3) - data(j, 2:3));
        graph(i, j) = dist;
        graph(j, i) = dist;
    end
end

% 初始化 Prim 算法所需的数据结构
visited = false(1, n);
dist = Inf(1, n);
prev = zeros(1, n);

% 选择任意一个顶点作为起始点
start = 1;
visited(start) = true;
dist(visited) = graph(start, visited);
prev(visited) = start;

% 执行 Prim 算法
while any(~visited)
    [~, curr] = min(dist(~visited));
    visited(curr) = true;
    for i = 1:n
        if ~visited(i) && graph(curr, i) > 0 && graph(curr, i) < dist(i)
            dist(i) = graph(curr, i);
            prev(i) = curr;
        end
    end
end

% 构建最小生成树
MST = zeros(n-1, 2);
for i = 1:n-1
    MST(i, :) = [prev(i+1), i+1];
end

% 计算总距离和口罩差值
total_dist = sum(graph(MST(:, 1), MST(:, 2)));
diff_MST = diffneed(MST(:, 1)) + diffneed(MST(:, 2));

% 输出结果
disp('最小生成树：');
disp(MST);
fprintf('总距离：%f
', total_dist);
fprintf('口罩差值：%d
', sum(diff_MST));

算法步骤：

创建一个空的最小生成树 MST。
选择任意家庭作为起始点，将其加入 MST 中。
当 MST 中的家庭数小于总家庭数时，重复以下步骤：
- 在 MST 之外的家庭中，找到离 MST 最近的家庭，记作 v。
- 找到 MST 中距离家庭 v 最近的家庭 u，使得 u 在 MST 中。
- 将边 (u, v) 加入 MST。
以此方式逐步扩展 MST，直到所有家庭都包含在内为止。最终形成的 MST 就是满足每个家庭需求且总距离最短的方案。

代码解释：

data: 存储每个家庭的信息，包括编号、坐标和口罩需求和供应。
diffneed: 计算每个家庭口罩需求与供应的差值。
graph: 构建无向图的邻接矩阵，存储每个家庭之间的距离。
visited: 标记已经加入 MST 的家庭。
dist: 记录每个家庭到 MST 的最小距离。
prev: 记录每个家庭在 MST 中的父节点。
MST: 存储最小生成树的边。
total_dist: 计算最小生成树的总距离。
diff_MST: 计算最小生成树中每个边的口罩差值之和。

使用方法：

将家庭的信息存储在 data 矩阵中。
运行代码，即可得到最小生成树和总距离。

注意：

代码中的 norm 函数用于计算两个点的欧氏距离。
代码中的 Prim 算法是一个贪心算法，能够找到满足每个家庭需求且总距离最短的方案。
实际应用中，可以根据具体情况修改代码，例如增加对口罩类型、家庭优先级等因素的考虑。

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