房贷年利率计算：Newton 迭代法求解每月还款额

假设某银行的房贷年利率为 5%，求每月还款额度。

解法：

首先将年利率转化为月利率，即 5% / 12 = 0.41667%。

假设贷款金额为 100 万，贷款期限为 20 年（240 个月）。

每月还款额度可以用以下公式计算：

每月还款额 = 贷款金额 × 月利率 × (1 + 月利率)^贷款期限 ÷ ((1 + 月利率)^贷款期限 - 1)

代入数值得到：

每月还款额 = 100 万 × 0.41667% × (1 + 0.41667%)^240 ÷ ((1 + 0.41667%)^240 - 1) = 6,741.73 元

使用 Newton 迭代法来计算每月还款额度：

设函数 f(x) = 100 万 × 0.41667% × (1 + 0.41667%)^240 ÷ ((1 + 0.41667%)^240 - 1) - x，即 f(x) 表示每月还款额度为 x 时，贷款余额为 0 的实际还款额度与 x 的差值。

求出 f(x) 的一阶导数 f'(x) = -1，使用 Newton 迭代公式：

x(n+1) = x(n) - f(x(n)) ÷ f'(x(n))

初始值 x(0) 可以取每月还款额的估计值，例如 x(0) = 6,000 元。

迭代计算：

x(1) = x(0) - f(x(0)) ÷ f'(x(0)) = 6,000 - (100 万 × 0.41667% × (1 + 0.41667%)^240 ÷ ((1 + 0.41667%)^240 - 1) - 6,000) ÷ (-1) ≈ 6,741.73 元

x(2) = x(1) - f(x(1)) ÷ f'(x(1)) ≈ 6,741.73 元

迭代两次后，结果和使用公式计算得到的每月还款额度一致，即每月还款额为 6,741.73 元。