隐式欧拉法时间步长稳定区间分析 - MATLAB 编程实现

隐式欧拉法的时间步长稳定区间可以通过 von Neumann 稳定性分析得到。具体来说，对于离散化的偏微分方程

$$ \frac{u^{n+1}-u^n}{\Delta t}=\mathcal{L}u^{n+1} $$

其中 $\Delta t$ 为时间步长，$\mathcal{L}$ 为离散化的微分算子，假设 $u^n=e^{ij\xi n\Delta t}$，代入上式得到

$$e^{ij\xi\Delta t}=\frac{1}{1-\Delta t\mathcal{L}}$$

其中 $\xi$ 为空间频率。我们需要求解 $\Delta t$ 的取值范围，使得上式右侧的矩阵的模长小于等于1，即

$$ \left|\frac{1}{1-\Delta t\mathcal{L}}\right|\leq 1 $$

移项并取模可得

$$ \Delta t\left|\mathcal{L}\right|\leq 2 $$

因此，隐式欧拉法的时间步长的稳定区间为

$$0\leq\Delta t\leq\frac{2}{\left|\mathcal{L}\right|}$$

其中 $\left|\mathcal{L}\right|$ 为离散化的微分算子的模长。