一维定态薛定谔方程的矩阵形式：数值解法

一维定态薛定谔方程为：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$$

将其转化为矩阵式，需要将波函数离散化，即将'x'的连续变量离散化为一系列离散点'x_i'，波函数在每个离散点'x_i'处的取值'ψ_i'也被离散化。设离散点的数量为'N'，则有：

$$x_i = i\Delta x, ~~i=0,1,2,...,N-1$$

其中'Δx'为离散点之间的间距。

我们可以将二阶导数'\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}'用中心差分的方式离散化：

$$\frac{d^2\psi(x_i)}{dx^2} \approx \frac{\psi_{i+1}-2\psi_i+\psi_{i-1}}{\Delta x^2}$$

则原方程变为：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\psi_{i+1}-2\psi_i+\psi_{i-1}}{\Delta x^2} + V(x_i)\psi_i = E\psi_i$$

将其整理可得：

$$-\frac{\hbar^2}{2m\Delta x^2} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & \cdots & 0
1 & -2 & 1 & \cdots & 0
0 & 1 & -2 & \cdots & 0
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & 0 & 0 & \cdots & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_0
\psi_1
\psi_2
\vdots
\psi_{N-1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} V(x_0) & 0 & 0 & \cdots & 0
0 & V(x_1) & 0 & \cdots & 0
0 & 0 & V(x_2) & \cdots & 0
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & 0 & 0 & \cdots & V(x_{N-1}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_0
\psi_1
\psi_2
\vdots
\psi_{N-1} \end{pmatrix} = E \begin{pmatrix} \psi_0
\psi_1
\psi_2
\vdots
\psi_{N-1} \end{pmatrix}$$

其中第一个矩阵为二阶差分矩阵，第二个矩阵为势能矩阵。因此，一维定态薛定谔方程被转化为一个矩阵本征值问题，可以用数值方法求解。