点电荷在立方体中的电通量计算：中心与顶点

根据高斯定理，电场中穿过一个封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内部电荷的代数和除以真空介电常数。对于这道题目，我们可以分别计算在立方体中心和顶点处的电通量。/n/n1. 立方体中心/n/n选取一个面积为$A$的立方体面作为封闭曲面，该面积为$a^2$。由于电荷$q$在立方体中心，因此在立方体内部的电荷代数和为$q$。真空介电常数$/epsilon_0$的值为$8.85//times10^{-12}/text{C}^2//text{N}//cdot/text{m}^2$。因此，穿过立方体面的电通量为：/n/n$$//Phi_E = //frac{q}{//epsilon_0} //cdot //frac{A}{4//pi a^2} = //frac{qa^2}{4//pi//epsilon_0 a^3} = //frac{q}{4//pi//epsilon_0a^2}$$/n/n2. 立方体顶点/n/n选取一个面积为$A$的立方体面作为封闭曲面，该面积为$a^2$。由于电荷$q$在顶点，因此在立方体内部的电荷代数和为$q$。如下图所示，在顶点处选取的立方体面可以看作是一个正方形，其边长为$//sqrt{2}a$，面积为$2a^2$。因此，穿过立方体面的电通量为：/n/n$$//Phi_E = //frac{q}{//epsilon_0} //cdot //frac{A}{4//pi r^2} = //frac{qa^2}{4//pi//epsilon_0 (//sqrt{2}a)^2} = //frac{q}{8//pi//epsilon_0a^2}$$/n/n因此，在顶点处穿过立方体各个面的电通量均为$//dfrac{q}{8//pi//epsilon_0a^2}$。