同轴电缆电场、极化电荷分布及电容计算

根据同轴线的对称性，可以假设介质中电场和极化电荷分布具有旋转对称性，即只依赖于径向距离r。/n/n考虑内导体处的电场，由高斯定理可得：/n/n$$/oint_S //mathbf{D}//cdot //mathrm{d}//mathbf{S}=Q_{//mathrm{enc}}$$/n/n取一个半径为r的圆柱面作为高斯面，其内外侧分别与内导体和外导体相切，可得：/n/n$$/int_0^{2//pi}//int_0^l D(r) //mathrm{d}r //mathrm{d}//theta=//frac{U_0}{//ln(b/a)}2//pi l//epsilon_0$$/n/n其中，l为同轴线长度。解出D(r)：/n/n$$D(r)=//frac{U_0}{//ln(b/a)}//frac{1}{r}//epsilon_0$$/n/n再根据介电常数的定义可得：/n/n$$E(r)=//frac{D(r)}{//epsilon}=//frac{U_0}{//ln(b/a)}//frac{1}{r}//frac{1}{//epsilon}$$/n/n极化电荷密度$//rho_p$为：/n/n$$//rho_p=-//nabla//cdot //mathbf{P}=-//frac{//partial P_r}{//partial r}$$/n/n根据电位的定义可得：/n/n$$E(r)=-//frac{//mathrm{d}U}{//mathrm{d}r}=-//frac{1}{r}//frac{//mathrm{d}}{//mathrm{d}r}(Ur)=-//frac{1}{r}//frac{//mathrm{d}U}{//mathrm{d}r}-//frac{U}{r^2}$$/n/n化简可得：/n/n$$//frac{//mathrm{d}U}{//mathrm{d}r}=-//frac{U_0}{//ln(b/a)}//frac{1}{r}//frac{1}{//epsilon}$$/n/n求解可得：/n/n$$U(r)=U_0//ln//frac{r}{a}//frac{//epsilon}{//epsilon_0//ln(b/a)}$$/n/n极化电荷分布为：/n/n$$//rho_p=-//frac{//partial P_r}{//partial r}=-//epsilon_0//frac{//partial E}{//partial r}+//rho_f=-//frac{U_0}{//ln(b/a)}//frac{1}{r^2}//epsilon_0$$/n/n其中，$//rho_f$为自由电荷密度，为0。/n/n同轴线上单位长度的电容为：/n/n$$C=//frac{Q}{U_0}=//frac{2//pi l//epsilon}{//ln(b/a)}$$/n/n电容分布为：/n/n$$C(r)=//frac{2//pi l//epsilon}{//ln(b/a)}//frac{1}{//ln(r/a)}$$