半径为 b 的球内电荷分布计算：直接积分法求解球内外电场强度

首先需要确定电荷分布密度函数，由题意可知：

球内电荷密度为 'ρ=b²-r'

球外电荷密度为 'ρ=0'

根据库仑定律，电场强度为：

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|^2}\hat{r'}\mathrm{d}V'$$

其中，$\vec{r}$ 表示观察点的位置矢量，$\vec{r'}$ 表示积分变量的位置矢量，$\hat{r'}$ 表示从积分变量指向观察点的单位矢量，$\mathrm{d}V'$ 表示积分元素。

对于球内电荷，我们可以采用球坐标系，设积分变量为 $(r',\theta',\phi')$，则：

$$\vec{r'}=r'\sin\theta'\cos\phi'\hat{i}+r'\sin\theta'\sin\phi'\hat{j}+r'\cos\theta'\hat{k}$$

$$\mathrm{d}V'=r'^2\sin\theta'\mathrm{d}r'\mathrm{d}\theta'\mathrm{d}\phi'$$

代入电场强度公式，得到：

$$\vec{E}_{\text{球内}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^b\frac{(b^2-r')}{|\vec{r}-\vec{r'}|^2}r'^2\sin\theta'\mathrm{d}r'\mathrm{d}\theta'\mathrm{d}\phi'\cdot\hat{r'}$$

其中，$\hat{r'}$ 的方向与 $\vec{r'}$ 的方向相同。

由于问题具有球对称性，根据库仑定律，球外电场强度为：

$$\vec{E}_{\text{球外}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat{r}$$

其中，$Q$ 表示球内的总电荷量，$r$ 表示观察点到球心的距离，$\hat{r}$ 表示从球心指向观察点的单位矢量。

球内电荷量可以通过积分计算得到：

$$Q=\iiint_V \rho(\vec{r})\mathrm{d}V=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^b(b^2-r')r'^2\sin\theta'\mathrm{d}r'\mathrm{d}\theta'\mathrm{d}\phi'$$

将 $Q$ 代入球外电场强度公式中，得到：

$$\vec{E}_{\text{球外}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^b(b^2-r')r'^2\sin\theta'\mathrm{d}r'\mathrm{d}\theta'\mathrm{d}\phi'}{r^2}\hat{r}$$

综上所述，我们需要分别计算球内和球外的电场强度。对于球内电场强度，采用球坐标系，积分变量为 $(r',\theta',\phi')$，积分范围为 $r'\in[0,b]$，$\theta'\in[0,\pi]$，$\phi'\in[0,2\pi]$。对于球外电场强度，直接代入公式即可。

注意到球内电荷密度与球心的距离有关，因此球内电场强度的计算比较复杂。一种简化的方法是，将球内电荷均匀分布，即 '$\rho=\frac{Q}{V}=\frac{3Q}{4\pi b^3}$'，其中 $Q$ 表示球内总电荷量。这样可以将球内电场强度的计算转化为均匀带电球壳的情形，可以采用相对简单的方法计算。