0/1 背包、任务分配和资源分配问题：C 语言实现与分析

本文将介绍三种经典的优化问题，并提供使用 C 语言实现的解决方案以及算法分析。这三种问题分别是：

0/1 背包问题* 任务分配问题* 资源分配问题

一、0/1 背包问题

1. 问题描述：

有一个容量为 V 的背包和 N 个物品，每个物品有一个重量 w 和一个价值 v。现在要从这 N 个物品中选择一些物品放入背包中，使得在不超过背包容量的前提下，背包中物品的总价值最大。

2. 算法实现：

使用动态规划的思想，设 dp[i][j] 表示前 i 个物品中，在不超过 j 的容量下，能够获得的最大价值。则有以下状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

其中，w[i] 表示第 i 个物品的重量，v[i] 表示第 i 个物品的价值。

**3. 代码实现：**cint max(int a, int b) { return a > b ? a : b;}

int knapsack(int W, int N, int *w, int *v) { int **dp = (int **)malloc((N+1) * sizeof(int *)); for(int i = 0; i <= N; i++) { dp[i] = (int *)malloc((W+1) * sizeof(int)); }

for(int i = 0; i <= W; i++) {        dp[0][i] = 0;    }

for(int i = 1; i <= N; i++) {        dp[i][0] = 0;        for(int j = 1; j <= W; j++) {            if(j < w[i-1]) {                dp[i][j] = dp[i-1][j];            } else {                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);            }        }    }

int result = dp[N][W];

for(int i = 0; i <= N; i++) {        free(dp[i]);    }    free(dp);

return result;}

4. 算法分析：

时间复杂度为 O(NW)，空间复杂度为 O(NW)。该算法可以解决一般的 0/1 背包问题，但无法解决背包中物品可以分割的分数背包问题。

二、任务分配问题

1. 问题描述：

有 N 个任务需要分配给 N 个人完成，每个人只能完成一个任务，每个任务需要的时间和每个人完成任务的能力不同。现在要找到一种最优的分配方案，使得任务完成的时间最短。

2. 算法实现：

使用匈牙利算法，从每个人出发，尝试匹配尚未分配任务的任务，如果能够匹配则继续匹配下一个人，否则就回溯到上一个人重新匹配。具体实现如下：cbool dfs(int u, int N, int *match, int **graph, bool *vis) { for(int i = 0; i < N; i++) { if(graph[u][i] && !vis[i]) { vis[i] = true; if(match[i] == -1 || dfs(match[i], N, match, graph, vis)) { match[i] = u; return true; } } } return false;}

int hungarian(int N, int *p, int *t) { int **graph = (int **)malloc(N * sizeof(int *)); for(int i = 0; i < N; i++) { graph[i] = (int *)calloc(N, sizeof(int)); for(int j = 0; j < N; j++) { if(p[i] >= t[j]) { graph[i][j] = 1; } } }

int *match = (int *)malloc(N * sizeof(int));    memset(match, -1, N * sizeof(int));

int result = 0;    for(int i = 0; i < N; i++) {        bool *vis = (bool *)calloc(N, sizeof(bool));        if(dfs(i, N, match, graph, vis)) {            result++;        }        free(vis);    }

for(int i = 0; i < N; i++) {        free(graph[i]);    }    free(graph);    free(match);

return result;}

3. 算法分析：

时间复杂度为 O(N^3)，空间复杂度为 O(N^2)。算法可以解决一般的任务分配问题，但无法解决任务时间可以被压缩的问题。

三、资源分配问题

1. 问题描述：

有 M 个资源需要分配给 N 个任务完成，每个任务需要的资源不同，每个资源可以同时分配给多个任务，但有一个上限。现在要找到一种最优的分配方案，使得任务完成的时间最短。

2. 算法实现：

使用网络流的思想，将资源和任务分别看作源点和汇点，资源到任务之间的边表示资源可以分配给任务的数量。具体实现如下：cint **build_graph(int M, int N, int *limit, int **resource) { int **graph = (int **)malloc((M+N+2) * sizeof(int *)); for(int i = 0; i < M+N+2; i++) { graph[i] = (int *)calloc(M+N+2, sizeof(int)); }

for(int i = 1; i <= M; i++) {        graph[0][i] = limit[i-1];    }

for(int i = 1; i <= N; i++) {        graph[M+i][M+N+1] = 1;        for(int j = 1; j <= M; j++) {            if(resource[j-1][i-1] > 0) {                graph[j][M+i] = resource[j-1][i-1];            }        }    }

return graph;}

int bfs(int **graph, int M, int N, int *path) { bool *vis = (bool *)calloc(M+N+2, sizeof(bool)); queue q; q.push(0); vis[0] = true; path[0] = -1;

while(!q.empty()) {        int u = q.front();        q.pop();

    for(int v = 0; v <= M+N+1; v++) {            if(!vis[v] && graph[u][v]) {                q.push(v);                vis[v] = true;                path[v] = u;            }        }    }

int result = graph[path[M+N+1]][M+N+1];    for(int v = M+N+1; v != 0; v = path[v]) {        int u = path[v];        result = min(result, graph[u][v]);        graph[u][v] -= result;        graph[v][u] += result;    }

free(vis);    return result;}

int max_flow(int M, int N, int *limit, int **resource) { int **graph = build_graph(M, N, limit, resource);

int *path = (int *)malloc((M+N+2) * sizeof(int));    int result = 0;    while(bfs(graph, M, N, path) > 0) {        result++;    }

for(int i = 0; i < M+N+2; i++) {        free(graph[i]);    }    free(graph);    free(path);

return result;}

3. 算法分析：

时间复杂度为 O(M^2N^2)，空间复杂度为 O(M^2)。算法可以解决一般的资源分配问题，但无法解决资源可以共享的问题。

总结：

本文介绍了 0/1 背包、任务分配和资源分配问题，并提供了 C 语言实现和算法分析。这些问题在计算机科学和运筹学中有着广泛的应用，本文的实现和分析能够帮助读者更好地理解这些问题的解决方法