三位数重复写两次的六位数整除问题

设小莉所写的三位数为 'abc'，则小威所写的六位数为 'abcabc'。

由于小威所写的数能被小莉所写的数之平方整除且所得的商恰好为1，因此有：

$$ \frac{abcabc}{abc^2}=1001 $$

化简可得：

$$ \frac{abc}{1000-abc}=7 $$

因为 'abc' 是一个三位数，所以 '1000-abc' 必须是一个两位数，而 '7' 不能整除任何两位数。因此，无解。

所以，这个三位数不存在。