三位数重复写两次成六位数的可除性问题

设小莉写下的三位数为 'a'，则小威写下的六位数为 '1000a+a=1001a'。根据题意可得：

$$ \frac{1001a}{a^2}=k $$

其中 'k' 为整数。化简可得：

$$1001=rac{k}{a}$$

由于 '1001=7\times 11\times 13'，因此 'a' 只能为 '7,11,13' 中的一个。

当 'a=7' 时，'1001=11\times 7 \times 13'，不符合题意。

当 'a=11' 时，'1001=7\times 11 \times 13'，符合题意，此时 'k=77'。

当 'a=13' 时，'1001=7\times 11 \times 13'，符合题意，此时 'k=91'。

因此，所求的整数是 'k=77' 或 'k=91'。