三位数重复构成六位数的整除问题

设小莉写的三位数为 'a'，则小威所写的六位数为 '1000a+a=1001a'。由于小威所写的数恰好可被小莉所写的数之平方整除，因此有： $$ \frac{1001a}{a^2}=1001\div a $$ 由于 'a' 是三位数，因此 'a' 的因数只能是 '1, 7, 11, 13' 或者 '91'。而 '1001=7\times 11\times 13'，因此 'a' 必须是 '7,11' 或 '13' 中的一个。

当 'a=7' 时，'1001\div 7^2=17' 不是整数，因此不符合要求； 当 'a=11' 时，'1001\div 11^2=7' 是整数，符合要求； 当 'a=13' 时，'1001\div 13^2=5' 不是整数，因此不符合要求。

因此，所得的整数为 '7'。