三位数重复写两次被平方整除的商

设小莉所写的三位数为 'abc'，则小威所写的六位数为 'abcabc'。由于小威所写的数能被小莉所写的数之平方整除且所得的商恰好为一个整数，因此有：

$$ \frac{abcabc}{(100a+10b+c)^2}=k $$

其中 'k' 为正整数。化简得：

$$k=\frac{10000a^2+2000ab+200ac+2000ab+400b^2+400bc+200ac+400bc+4c^2}{(100a+10b+c)^2}=\frac{10000a^2+4000ab+400b^2+800ac+800bc+4c^2}{(100a+10b+c)^2} $$

将 '10000a^2+4000ab+400b^2+800ac+800bc+4c^2' 写成 'a(10000a+4000b+80c)+b(400c+4000a)+4c^2' 的形式，可以发现其是 'a,b,c' 的线性函数。因此，若 'k' 是整数，则 '10000a+4000b+80c' 必须能被 '(100a+10b+c)^2' 整除。又因为 '10000a+4000b+80c=100(100a+10b+c)+300a+40b'，因此 '300a+40b' 也必须能被 '100a+10b+c' 整除。由于 '100a+10b+c' 是三位数，因此 '300a+40b' 必然是三位数或两位数。

当 '300a+40b' 是三位数时，设 '300a+40b=kd'，其中 'd' 为小于等于 '9' 的正整数。则 '100a+10b+c=3kd'，因此 'd' 必须能整除 'c'。又因为 'c' 是小于等于 '9' 的正整数，因此 'd' 只能等于 '1'。此时 '100a+10b+c=3k'，由于 '100a+10b+c' 是三位数，因此 'k' 必然是 '1,2,3,⋯,33' 中的一个。计算可得，只有 'k=3' 时，'k' 是整数。

当 '300a+40b' 是两位数时，设 '300a+40b=10kd'，其中 'd' 为小于等于 '9' 的正整数。则 '100a+10b+c=kd'，因此 'd' 必须能整除 'c'。又因为 'c' 是小于等于 '9' 的正整数，因此 'd' 只能等于 '1' 或 '2'。当 'd=1' 时，'100a+10b+c=10k'，由于 '100a+10b+c' 是三位数，因此 'k' 必然是 '1,2,⋯,9' 中的一个。计算可得，只有 'k=2' 时，'k' 是整数。当 'd=2' 时，'100a+10b+c=5k'，由于 '100a+10b+c' 是三位数，因此 'k' 必然是 '1,2,⋯,19' 中的一个。计算可得，只有 'k=4' 时，'k' 是整数。

综上所述，'k' 只有可能是 '3' 或 '4'。因此，这个整数就是 '3-4=-1'。