证明题：直角三角形斜边上的点与角的关系

假设 'AB' 是一个直角三角形的斜边，'∠A' 是直角。点 'D' 在 'AB' 上，且 '∠ACD = ∠BAC'。证明：'AD = 2CD'。

证明：

首先，连接 'AC' 和 'BC'，如下图所示：

[图片]

因为 '∠ACD = ∠BAC'，所以 '△ACD' 和 '△ABC' 相似。根据相似三角形的性质，我们可以得出：

$$ \frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC} $$

又因为 'AB' 是一个直角三角形的斜边，所以 'AB=2AC'。代入上式，得到：

$$ \frac{1}{2}=\frac{CD}{BC} $$

进一步地，因为 '△ACD' 和 '△ABC' 相似，所以 '$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}$'。代入上式，得到：

$$ \frac{AD}{AB}=\frac{1}{2} $$

因为 'AB' 是斜边，所以 'AB=2CD'。代入上式，得到：

$$ \frac{AD}{2CD}=\frac{1}{2} $$

化简可得 'AD=2CD'。因此，我们证明了 'AD=2CD'。