特征向量求解方法及示例 - 线性代数基础

特征向量是在线性代数中的一个重要概念，它是指满足某个矩阵乘上该向量后，该向量只会被拉伸或缩小的向量。其求法如下：

假设A是一个n阶方阵，若存在非零向量x和常数λ，使得Ax=λx，则称x是A的特征向量，λ是x对应的特征值。

我们可以通过以下步骤求解：

1. 解特征方程：det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。

2. 求得特征值λ1,λ2,…,λn。

3. 对于每个特征值λi，解方程组(A-λiI)x=0，得到特征向量。

例如，给定矩阵A = [2 1; 1 2]，我们可以求出其特征值和特征向量：

1. 解特征方程：det(A-λI) = 0，即

(2-λ)×(2-λ)-1×1=0

化简得到：λ1=3，λ2=1。

2. 对于λ1=3，解方程组(A-3I)x=0，得到特征向量x1=(1,1)。

3. 对于λ2=1，解方程组(A-I)x=0，得到特征向量x2=(-1,1)。

因此，矩阵A的特征向量为x1=(1,1)和x2=(-1,1)，对应的特征值分别为λ1=3和λ2=1。