标准正态分布平方和的概率密度函数

因为 $X$ 和 $Y$ 是独立的标准正态分布，所以它们的概率密度函数分别为：

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$

$$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}$$

根据变量替换公式，有：

$$z = V(X^2 + Y^2) = X^2 + Y^2$$

$$ \begin{aligned} J &= \begin{vmatrix} \frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y} \\frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial z} \end{vmatrix} \&= \begin{vmatrix} 2x & 2y \\frac{\partial}{\partial z}(x^2+y^2) & \frac{\partial}{\partial z}(x^2+y^2) \end{vmatrix} \&= \begin{vmatrix} 2x & 2y \\0 & 0 \end{vmatrix} \&= 0 \end{aligned}$$

因此，由变量替换公式，有：

$$f_Z(z) = f_{X,Y}(x,y) \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(z)}\right| = f_X(\sqrt{z})f_Y(\sqrt{z})\frac{1}{2\sqrt{z\pi}}$$

即

$$f_Z(z) = \frac{1}{2\pi z} e^{-\frac{z}{2}} \quad (z>0)$$

这是 $\chi^2$ 分布自由度为 $2$ 的概率密度函数，因此 $Z=V(X^2+Y^2)$ 服从自由度为 $2$ 的 $\chi^2$ 分布。