离散序列DFT分析：谱峰分辨与补零方法

已知一离散序列x(n) = cos((2πnf_1)⁄f_s ) + cos((2πnf_2)⁄f_s )，其中，f_1=200Hz，f_2=205Hz，f_s=1000Hz。

1）当0≤n≤128时，计算x(n)的DFT，并画出其波形图和幅频图；

f1 = 200;
f2 = 205;
fs = 1000;
n = 0:128;
x = cos(2*pi*f1*n/fs) + cos(2*pi*f2*n/fs);
X = fft(x);
figure;
subplot(2,1,1);
stem(n,x);
title('x(n)波形图');
xlabel('n');
ylabel('x(n)');
subplot(2,1,2);
stem(n,abs(X));
title('x(n)幅频图');
xlabel('n');
ylabel('|X(n)|');

2）如果两个谱峰在幅频图中不能被分辨出来，通过编程验证是否可以通过补零的方式（将上面的x(n)补零使其序列加长至0≤n≤512）分辨出2个谱峰，并解释其原因；

n2 = 0:512;
x2 = [x zeros(1,384)];
X2 = fft(x2);
figure;
subplot(2,1,1);
stem(n2,x2);
title('补零后的x(n)波形图');
xlabel('n');
ylabel('x(n)');
subplot(2,1,2);
stem(n2,abs(X2));
title('补零后的x(n)幅频图');
xlabel('n');
ylabel('|X(n)|');

3）当0≤n≤512时，计算x(n)的DFT，并画出其波形图和幅频图。

n3 = 0:512;
x3 = cos(2*pi*f1*n3/fs) + cos(2*pi*f2*n3/fs);
X3 = fft(x3);
figure;
subplot(2,1,1);
stem(n3,x3);
title('x(n)波形图');
xlabel('n');
ylabel('x(n)');
subplot(2,1,2);
stem(n3,abs(X3));
title('x(n)幅频图');
xlabel('n');
ylabel('|X(n)|');

解释：

通过补零的方式可以提高频谱分辨率，这是因为补零后DFT的点数增加，导致频域的采样点增多，从而使得两个原本距离很近的谱峰能够被分辨出来。

结论：

通过对离散序列进行DFT分析，并利用补零方法可以有效地提高频谱分辨率，从而更加准确地识别信号中的频率成分。