MATLAB 线性方程组求解：矩阵相除和逆矩阵方法

使用矩阵相除：

将方程组写成增广矩阵形式：

$\begin{bmatrix}5 & 4 & 6 & 9\8 & 9 & 7 & 1\3 & 6 & 4 & 7\end{bmatrix}$

使用矩阵相除，将第1行除以5，第2行除以8，第3行除以3，得到：

$\begin{bmatrix}1 & \frac{4}{5} & \frac{6}{5} & \frac{9}{5}\1 & \frac{9}{8} & \frac{7}{8} & \frac{1}{8}\1 & 2 & \frac{4}{3} & \frac{7}{3}\end{bmatrix}$

然后对第2行减去第1行，第3行减去第1行，得到：

$\begin{bmatrix}1 & \frac{4}{5} & \frac{6}{5} & \frac{9}{5}\0 & \frac{17}{8} & \frac{1}{8} & \frac{-4}{5}\0 & \frac{26}{5} & \frac{2}{3} & \frac{-8}{5}\end{bmatrix}$

对第2行乘以$\frac{8}{17}$，第3行乘以$\frac{5}{26}$，得到：

$\begin{bmatrix}1 & \frac{4}{5} & \frac{6}{5} & \frac{9}{5}\0 & 1 & \frac{1}{17} & \frac{-8}{85}\0 & 0 & \frac{1}{26} & \frac{-9}{170}\end{bmatrix}$

对第3行乘以26，得到：

$\begin{bmatrix}1 & \frac{4}{5} & \frac{6}{5} & \frac{9}{5}\0 & 1 & \frac{1}{17} & \frac{-8}{85}\0 & 0 & 1 & \frac{-27}{170}\end{bmatrix}$

对第2行加上第3行乘以$\frac{-1}{17}$，对第1行减去第3行乘以$\frac{6}{5}$，得到：

$\begin{bmatrix}1 & \frac{4}{5} & 0 & \frac{24}{17}\0 & 1 & 0 & \frac{-67}{170}\0 & 0 & 1 & \frac{-27}{170}\end{bmatrix}$

对第1行减去第2行乘以$\frac{4}{5}$，得到：

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{93}{85}\0 & 1 & 0 & \frac{-67}{170}\0 & 0 & 1 & \frac{-27}{170}\end{bmatrix}$

因此，方程组的解为$x_1=\frac{93}{85}$，$x_2=\frac{-67}{170}$，$x_3=\frac{-27}{170}$。

使用逆矩阵：

同样地，将方程组写成增广矩阵形式：

$\begin{bmatrix}5 & 4 & 6 & 9\8 & 9 & 7 & 1\3 & 6 & 4 & 7\end{bmatrix}$

将系数矩阵$A$提取出来：

$A=\begin{bmatrix}5 & 4 & 6\8 & 9 & 7\3 & 6 & 4\end{bmatrix}$

计算$A$的逆矩阵$A^{-1}$：

$A^{-1}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}16 & -6 & -14-12 & 5 & 11\3 & -2 & -2\end{bmatrix}$

方程组的解为$x=A^{-1}b$，其中$b=\begin{bmatrix}9\1\7\end{bmatrix}$。因此，

$x=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}16 & -6 & -14-12 & 5 & 11\3 & -2 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}9\1\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{93}{85}\ \frac{-67}{170}\ \frac{-27}{170}\end{bmatrix}$

与使用矩阵相除得到的解一致。