博弈论：交通网络的纳什均衡分析

首先我们可以画出这个网络，如下图所示：\n\n\n其中，红色的边表示路线1，蓝色的边表示路线2。每条边上的数字表示行驶时间，单位为分钟。\n\n\n接下来我们考虑每个人的策略。假设有$x$个人选择路线1，$80-x$个人选择路线2。对于路线1上的每个人，他们会选择使得自己的行驶时间最小化的策略。因为路线1上的行驶时间只和路线上的车辆数有关，所以每个人都会选择路线1，使得路线1上的车辆数尽可能少。对于路线2上的每个人，也是同样的道理。因此，纳什均衡应该满足以下条件：\n\n\n1. 路线1上的车辆数最小化。\n\n\n2. 路线2上的车辆数最小化。\n\n\n我们可以通过列出每个人的行驶时间来求解纳什均衡。对于路线1上的每个人，其行驶时间为$60+10+\frac{x-1}{2}$分钟。其中，60分钟是高速公路的行驶时间，10分钟是普通道路的行驶时间，$\frac{x-1}{2}$表示在普通道路上行驶的车辆数。因为每个人都会选择使得自己的行驶时间最小化的策略，所以路线1上的车辆数应该满足以下条件：\n\n\n$$\frac{\partial}{\partial x}(60+10+\frac{x-1}{2})=0$$\n\n\n解得$x=41$。因此，纳什均衡应该是41个人选择路线1，39个人选择路线2。\n\n\n接下来考虑政府修建新路后的情况。我们可以画出新的网络，如下图所示：\n\n\n其中，绿色的边表示新修建的双向路。每条边上的数字表示行驶时间，单位为分钟。\n\n\n对于路线1上的每个人，其行驶时间为$60+10+\frac{x-1}{2}$分钟，与之前相同。对于路线2上的每个人，其行驶时间为$10+\frac{y-1}{2}+60+10$分钟。其中，$10+\frac{y-1}{2}$表示在普通道路上行驶的车辆数，60分钟是高速公路的行驶时间，10分钟是普通道路的行驶时间。因此，路线2上的车辆数应该满足以下条件：\n\n\n$$\frac{\partial}{\partial y}(10+\frac{y-1}{2}+60+10)=0$$\n\n\n解得$y=79$。因此，新的纳什均衡应该是41个人选择路线1，39个人选择路线2，没有人选择新修建的双向路。这是因为新修建的双向路虽然可以使得一部分人的行驶时间更短，但是需要经过普通道路和高速公路，可能会拥堵，从而导致行驶时间更长。因此，所有人都选择了使得自己的行驶时间最小化的策略，即选择路线1或路线2。