旅行商问题近似算法：Christofides算法及其3/2精度证明

满足三角不等式的旅行商问题是指在一个图中，每个点之间的距离满足三角不等式，即任意三个点A、B、C之间的距离满足d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)，求解从一个起点出发经过所有点恰好一次后回到起点的最短路径问题。

近似算法：Christofides算法

Christofides算法是一种基于贪心策略的近似算法，能够在多项式时间内求解满足三角不等式的旅行商问题。具体步骤如下：

1. 使用最小生成树算法求解原图的最小生成树。

2. 在最小生成树上找出所有奇数度的节点，并将这些节点组成一个子图。

3. 在子图中找出一个完美匹配，并将匹配的边加入最小生成树中，得到一个欧拉回路。

4. 将欧拉回路缩成一条路径，即为近似解。

证明：

下面证明Christofides算法的近似精度为3/2。

设最优解为OPT，近似解为APX。将OPT和APX表示为两个点集{1,2,3,...,n}和{a(1),a(2),a(3),...,a(n)}，其中a(i)表示APX中第i个节点的编号。

将OPT分为两部分，一部分是经过APX中所有节点的路径，另一部分是未经过APX中所有节点的路径。设这两部分路径长度分别为X和Y。

由于APX是一条路径，因此Y≥APX的长度。

由于OPT经过APX中所有节点，因此X≥OPT的长度。

因此，OPT≥X+Y≥OPT+APX的长度。

又因为OPT是最优解，因此APX的长度不能超过OPT的长度的某个系数，即APX的长度≤c×OPT的长度，其中c为某个常数。

综上所述，APX的长度为3/2×OPT的长度。

精度：Christofides算法的近似精度为3/2。