仙农抽样定理证明：推导 f(t) 的重建公式

首先，我们将目标式子写为积分形式：

$$\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)S_N(t)dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-jn\omega_0t}dt$$

其中，$S_N(t)$为$N$阶部分和，$\omega_0=\frac{2\pi}{T}$，$c_n$为$N$阶傅里叶系数。

根据仙农抽样定理，我们将采样频率设为$f_s=\frac{1}{T}$，则采样周期为$T_s=\frac{1}{f_s}=T$，采样时刻为$t_k=kT$，其中$k\in\mathbb{Z}$。

我们将$f(t)$在每个采样时刻$t_k$处采样，得到采样值$f_k=f(t_k)$。由于$f(t)$是周期函数，因此在一个周期内的采样值是相同的，即$f_k=f(t_k)=f(t_k+nT)$，其中$n\in\mathbb{Z}$。

我们可以将$f(t)$表示为其采样值的插值形式：

$$f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f_ke^{j\omega_k t}$$

其中，$\omega_k=k\omega_0$为采样频率的倍数。

将上式代入目标式子，并利用周期性将积分上限变为$T$，得到：

$$\begin{aligned}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)S_N(t)dt&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-jn\omega_0t}dt\&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f_ke^{j\omega_k t}e^{-jn\omega_0t}dt\&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t}\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f_k\int_{0}^{T}e^{j(\omega_k-n\omega_0)t}dt\&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t}\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f_ke^{j(\omega_k-n\omega_0)T}\frac{1}{j(\omega_k-n\omega_0)}\&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t}\frac{1}{NT}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f_ke^{j(\omega_k-n\omega_0)T}\end{aligned}$$

现在我们需要证明，当$N\rightarrow\infty$时，上式右边的求和式趋近于$f(t)$。

考虑将上式右边的求和式拆成两部分：

$$\begin{aligned}&\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t}\frac{1}{NT}\sum_{|k|\leq N}f_ke^{j(\omega_k-n\omega_0)T}\&+\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t}\frac{1}{NT}\sum_{|k|>N}f_ke^{j(\omega_k-n\omega_0)T}\end{aligned}$$

对于第一部分，当$N\rightarrow\infty$时，$\omega_k\rightarrow\omega_0$，因此

$$\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{|k|\leq N}f_ke^{j(\omega_k-n\omega_0)T}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f_ke^{j(\omega_k-n\omega_0)T}$$

代入上式得到：

$$\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t}\frac{1}{NT}\sum_{|k|\leq N}f_ke^{j(\omega_k-n\omega_0)T}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t}\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f_ke^{j(\omega_k-n\omega_0)t}=f(t)$$

对于第二部分，我们可以利用采样定理证明它趋近于0：

$$\begin{aligned}\lim_{N\rightarrow\infty}\left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t}\frac{1}{NT}\sum_{|k|>N}f_ke^{j(\omega_k-n\omega_0)T}\right|&\leq\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|\frac{1}{NT}\sum_{|k|>N}|f_k|\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\sum_{|k|>N}|f_k|\frac{1}{N}\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|\&=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{2}{T}\sum_{k=N+1}^{\infty}|f_k|\&=0\end{aligned}$$

因此，当$N\rightarrow\infty$时，上式右边的求和式趋近于$f(t)$，证毕。