旅行商问题的近似算法：满足三角不等式的近似比为 2 的算法

1. 算法描述

输入：n个城市的坐标{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}

输出：一条经过所有城市的最短路径

步骤：

1. 任选一个起始城市v，将其加入已访问城市集合visited中。

2. 找到离v最近的未访问城市u，将其加入visited中。

3. 对于visited中的每一个城市，记录它到u的距离，取最小值，并将其加入到路径中。

4. 重复步骤2和步骤3，直到所有城市都被访问过。

5. 将路径的最后一个城市连接到起始城市v，形成一个闭合回路。

6. 返回路径长度最小的回路。

7. 算法证明

该算法是一种近似算法，它的近似比为2。即，该算法得到的最短路径长度不超过实际最短路径长度的两倍。

证明：

假设算法得到的最短路径长度为L，实际最短路径长度为L*。

根据三角不等式：对于任意三个点A、B、C，有AB+BC>=AC。

对于任意一个城市i，假设它与离它最近的城市j之间的距离为d(i,j)，它与离它第二近的城市k之间的距离为d(i,k)。

则有：d(i,j)+d(j,k)>=d(i,k)。

因为算法选取的是距离i最近的城市，所以有：d(i,j)<=d(i,k)。

将上式代入得：d(i,k)+d(j,k)>=2*d(i,j)。

将所有城市的距离累加起来得：L*>=2L。

因此，该算法的近似比为2。

3. 精度说明

该算法的精度为O(1)，即近似比为常数2。虽然它不能保证得到最优解，但是在实际应用中，它已经足够接近最优解，而且具有较高的运行效率。因此，该算法是一种实用性较强的解决旅行商问题的方法。