双液箱系统数学模型建立及分析

根据提示，液箱的液阻R可以表示为

$$\ R=\frac{\Delta h}{\Delta Q}\ $$

液箱的液容为C，液面高度为h，则液箱的液位变化量为

$$\ \Delta V=C\Delta h\ $$

根据质量守恒定律，流量的变化量等于液位变化量的变化量，即

$$\ \Delta Q=-\Delta V\ $$

因此，液箱的液阻R也可以表示为

$$\ R=-\frac{\Delta h}{\Delta V}=-\frac{1}{C}\ $$

液箱A的液阻为R1，B的液阻为R2。根据管道连通原理，稳态时A的流量等于B的流量，即

$$\ Q=\frac{h_1}{R_1}=\frac{h_2}{R_2}\ $$

对A液箱和B液箱分别应用质量守恒定律，可得

$$\ C_1\frac{dh_1}{dt}=Q-\Delta Q_1\ $$

$$\ C_2\frac{dh_2}{dt}=\Delta Q_1-\Delta Q_2\ $$

其中，$\Delta Q_1$和$\Delta Q_2$分别为液箱A的输入流量和液箱B的输出流量对稳态值的微小变化。根据提示，液箱的液阻可以表示为

$$\ R_1=-\frac{1}{C_1},\quad R_2=-\frac{1}{C_2}\ $$

将上述式子代入，得到

$$\ \frac{dh_1}{dt}=-\frac{1}{C_1}h_1+\frac{1}{C_1}h_2+\frac{\Delta Q_1}{C_1}\ $$

$$\ \frac{dh_2}{dt}=\frac{1}{C_2}h_1-\frac{1}{C_2}h_2+\frac{\Delta Q_2}{C_2}\ $$

由于u为调节阀开度，对于液箱A的输入流量，有

$$\ \Delta Q_1=K_cu\ $$

其中，Kc为调节阀系数。液箱B的输出流量为

$$\ \Delta Q_2=\frac{h_2}{R_2}\ $$

因此，系统的数学模型可以表示为

$$\ \begin{cases}\ \frac{dh_1}{dt}=-\frac{1}{C_1}h_1+\frac{1}{C_1}h_2+K_cu \\n\frac{dh_2}{dt}=\frac{1}{C_2}h_1-\frac{1}{C_2}h_2+\frac{h_2}{R_2}\ \end{cases}\ $$