线性代数：平移变换和尺度变换顺序的影响

给定平移变换矩阵$T=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4\0 & 1 & 0 & 5\0 & 0 & 1 & 6\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$和尺度变换矩阵$S=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 & 0\0 & 2 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 0\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$，要求对空间点$P=[1, 2, 3]^T$进行变换。

先平移变换后尺度变换：

$\begin{aligned}P'&=S(TP)\&=S\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4\0 & 1 & 0 & 5\0 & 0 & 1 & 6\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\2\3\1\end{bmatrix}\&=S\begin{bmatrix}5\7\9\1\end{bmatrix}\&=\begin{bmatrix}15\14\9\1\end{bmatrix}\end{aligned}$

先尺度变换后平移变换：

$\begin{aligned}P'&=T(SP)\&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4\0 & 1 & 0 & 5\0 & 0 & 1 & 6\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 & 0\0 & 2 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 0\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\2\3\1\end{bmatrix}\&=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 & 12\0 & 2 & 0 & 10\0 & 0 & 1 & 6\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\2\3\1\end{bmatrix}\&=\begin{bmatrix}15\14\9\1\end{bmatrix}\end{aligned}$

从结果可以看出，两种方式得到的结果是相同的，但是变换的过程是不同的。先平移变换后尺度变换的方式先将点$P$平移到$(4,5,6)$，再进行尺度变换；先尺度变换后平移变换的方式先将点$P$进行尺度变换，再将变换后的点进行平移变换。两种方式的差别在于变换的顺序，但是最终的结果是相同的。