医用口罩共享方案设计：最优路径、快递方案与配送中心点设置

由于新冠肺炎疫情影响，医用口罩的需求量日益增加。某中学班主任了解到班里 20 名学生的家庭所在小区每周均发放到家庭一定数量的免费医用口罩，于是班主任想到了一个口罩共享方案。通过联系各个家庭，了解到每个学生家庭每周拥有的口罩数量以及最低需求口罩数量，有些家庭是口罩数量不足，而有些家庭是有充足的口罩，如表 1 所示。假设这 20 个家庭每周拥有固定口罩总量及固定需求总量。

表 1

| 身份 | 家庭住址 | 拥有口罩数（个/周） | 最低需求口罩数（个/周） | 横坐标 x | 纵坐标 y | |---|---|---|---|---|---| | 班主任 | | 30 | 35 | | | | 学生 | | | | | | | 1 | | 18 | 12 | 14 | 15 | | 2 | | 23 | 14 | 17 | 9 | | 3 | | 10 | 15 | 0 | 9 | | 4 | | 15 | 4 | 25 | 8 | | 5 | | 13 | 8 | 10 | 10 | | 6 | | 20 | 12 | 20 | 8 | | 7 | | 20 | 13 | 25 | 18 | | 8 | | 32 | 7 | 15 | 11 | | 9 | | 15 | 11 | 18 | 18 | | 10 | | 24 | 23 | 9 | 24 | | 11 | | 3 | 15 | 8 | 4 | | 12 | | 17 | 17 | 3 | 10 | | 13 | | 5 | 5 | 26 | 9 | | 14 | | 19 | 19 | 23 | 27 | | 15 | | 11 | 11 | 4 | 5 | | 16 | | 20 | 20 | 8 | 7 | | 17 | | 2 | 2 | 23 | 6 | | 18 | | 10 | 10 | 16 | 8 | | 19 | | 11 | 11 | 38 | 18 | | 20 | | 13 | 13 | 42 | 18 |

最省钱的家访方案

假设班主任想针对这个方案到那些口罩充足的学生家里做一次方案说明的家访。考虑到这些家庭地址不同以及节约时间，班主任想一次性完成这些学生的家访。假设班主任采用滴滴打车方式，请为这位班主任设计一个最省钱的家访方案。

这是一个旅行商问题（TSP），需要求出经过所有口罩充足家庭的最短路径。可以采用贪心算法，从班主任家庭出发，每次选择距离最近的口罩充足家庭，直到经过所有口罩充足家庭，然后再返回班主任家庭。需要注意的是，由于家庭地址是二维坐标，需要用勾股定理计算距离。

最省钱的口罩共享方案

了解到每个家庭均赞成此口罩共享方案，班主任决定让口罩充足的家庭快递部分口罩给缺乏口罩的家庭。当地针对医用口罩的快递收费标准是 0.5 元/个/ km。假设此方案所支付的快递费全部由学校承担，请为学校设计一套最省钱的口罩共享方案。

首先需要确定哪些家庭需要快递口罩，哪些家庭可以提供口罩。可以将所有家庭分为两类：缺乏口罩的家庭和口罩充足的家庭。口罩充足的家庭可以提供一部分口罩给缺乏口罩的家庭，使得所有家庭都能满足最低需求口罩数。然后，可以采用贪心算法，从班主任家庭出发，每次选择距离最近的缺乏口罩的家庭，然后将口罩从口罩充足的家庭快递给缺乏口罩的家庭，直到所有缺乏口罩的家庭都满足最低需求口罩数。需要注意的是，由于需要快递口罩，需要将家庭地址转换为快递距离，即实际距离乘以收费标准。

最节约成本的配送方案

班主任与各小区物业中心共同商量出了另一套方案。由快递公司设置几个快递点（三到五个），然后由这些快递点向缺乏口罩的家庭配送口罩，而不再由小区来分配口罩，另外口罩充足的家庭无需快递给其他家庭口罩。经协商，快递收费标准提高到 1 元/ km，且不考虑配送口罩的个数。但究竟快递中心点设在哪里，设置多少个仍是个问题。请设计一套节约成本的配送方案，并告知学校此方案是否可行（可以对比第 2 问中的方案）。

可以采用分治策略，将所有家庭分为若干个区域，每个区域内设置一个快递中心点，然后将口罩从口罩充足的家庭快递到对应的快递中心点，再由快递中心点将口罩配送给缺乏口罩的家庭。具体的，可以采用K-means聚类算法将所有家庭分为若干个簇，每个簇的中心即为快递中心点。需要注意的是，快递中心点的数量和分簇的方式会影响到配送方案的成本，需要进行多次尝试，选择最优的方案。另外，由于快递收费标准提高到了1元/公里，需要重新计算成本。