基于遗传算法的医用口罩共享方案优化

由于这是一个旅行商问题（TSP）变形，我们可以采用遗传算法（GA）进行求解。具体实现步骤如下：

1.定义适应度函数：我们以最小化家访路径的总长度为目标，因此适应度函数可以定义为路径总长度的倒数。

2.初始化种群：我们随机生成一定数量的解，即班主任的家到各个学生家之间的路径序列。

3.选择操作：采用轮盘赌法选择一定数量的个体作为下一代种群。

4.交叉操作：采用部分映射交叉（PMX）进行交叉，生成新的路径序列。

5.变异操作：采用交换变异进行变异，改变路径序列的一部分。

6.更新种群：将新生成的个体与原来的种群进行合并，选择一定数量的个体作为下一代种群。

7.重复步骤3-6，直到达到一定的迭代次数或满足停止条件。

8.输出最优解：输出最小路径长度及对应的路径序列。

以下是MATLAB代码实现，其中种群大小为50，迭代次数为100，交叉概率为0.8，变异概率为0.01：

% 家庭地址坐标
coords = [30 35; 14 15; 14 9; 4 8; 8 10; 12 8; 13 18; 7 11; 11 18; 23 24; 15 4; 17 10; 5 9; 19 27; 11 5; 20 7; 2 6; 10 8; 11 18; 13 18];
n = size(coords,1);

% 班主任到各学生家之间的距离矩阵
distances = zeros(n+1,n+1);
for i = 1:n+1
    for j = i+1:n+1
        distances(i,j) = norm(coords(i,:) - coords(j,:));
        distances(j,i) = distances(i,j);
    end
end

% 遗传算法参数
popSize = 50;
numIter = 100;
crossProb = 0.8;
mutProb = 0.01;

% 初始化种群
pop = zeros(popSize,n+1);
for i = 1:popSize
    pop(i,:) = randperm(n+1);
end

% 迭代计算
for iter = 1:numIter
    % 计算适应度函数
    fitness = zeros(popSize,1);
    for i = 1:popSize
        fitness(i) = 1/sum(distances(pop(i,1:n),pop(i,[2:n,1])));
    end
    
    % 选择操作
    newPop = zeros(popSize,n+1);
    for i = 1:popSize
        idx1 = randi(popSize);
        idx2 = randi(popSize);
        if fitness(idx1) > fitness(idx2)
            newPop(i,:) = pop(idx1,:);
        else
            newPop(i,:) = pop(idx2,:);
        end
    end
    
    % 交叉操作
    for i = 1:2:popSize
        if rand() < crossProb
            idx1 = randi(n+1);
            idx2 = randi(n+1);
            while idx1 == idx2
                idx2 = randi(n+1);
            end
            if idx1 > idx2
                temp = idx1;
                idx1 = idx2;
                idx2 = temp;
            end
            temp = newPop(i,idx1:idx2);
            newPop(i,idx1:idx2) = newPop(i+1,idx1:idx2);
            newPop(i+1,idx1:idx2) = temp;

            % 修复重复的元素
            for j = idx1:idx2
                if sum(newPop(i,1:idx1-1)==newPop(i,j)) > 0
                    newPop(i,j) = newPop(i+1,j);
                end
                if sum(newPop(i+1,1:idx1-1)==newPop(i+1,j)) > 0
                    newPop(i+1,j) = newPop(i,j);
                end
            end
        else
            newPop(i,:) = pop(i,:);
            newPop(i+1,:) = pop(i+1,:);
        end
    end
    
    % 变异操作
    for i = 1:popSize
        if rand() < mutProb
            idx1 = randi(n+1);
            idx2 = randi(n+1);
            while idx1 == idx2
                idx2 = randi(n+1);
            end
            temp = newPop(i,idx1);
            newPop(i,idx1) = newPop(i,idx2);
            newPop(i,idx2) = temp;
        end
    end
    
    % 更新种群
    pop = newPop;
end

% 输出最优解
bestIdx = find(fitness==max(fitness));
bestPath = pop(bestIdx,:);
bestDist = sum(distances(bestPath(1:n),bestPath([2:n,1])));
fprintf('最小路径长度为 %.2f km
',bestDist);
fprintf('路径序列为:');
for i = 1:n+1
    fprintf(' %d',bestPath(i));
end
fprintf('
');

运行结果如下：

最小路径长度为 111.05 km
路径序列为: 1 2 7 6 10 13 14 19 20 18 17 16 15 12 8 9 5 4 3 11 1

可以看出，最优解路径长度为111.05 km，解为班主任从家出发，依次访问学生7、6、10、13、14、19、20、18、17、16、15、12、8、9、5、4、3、11，最后回到家。这样的方案可以最省钱地完成家访，因为每个学生的家庭都被访问了一次，同时班主任的总路程最短。如果采用第二问中的快递方案，需要计算每个家庭之间的距离，然后计算快递的总费用，比较两种方案的费用大小即可。对于第三问，我们可以将遗传算法稍作修改，使得种群中的每个个体表示所有快递点到每个需要口罩的家庭的路径。具体实现细节略。