变截面钢轴扭转强度分析及相对扭转角计算

(1) 轴的扭矩图如下图所示：

注：图中M1和M2的方向是按照右手定则确定的。

(2) 校核轴的强度：

由于轴是变截面轴，所以需要分段计算。在截面1处，轴的最大剪应力τmax1发生在M2作用下，有：

τmax1 = M2 * d1 / (2 * Jx1) = 1.2 * 10^3 * 80 / (2 * 2.91 * 10^4) = 0.0165 MPa

其中，Jx1为截面1的极角惯性矩，计算得到Jx1=2.91×10^4 mm^4。

由于τmax1 < [τ]，所以轴在截面1处强度校核合格。

在截面2处，轴的最大剪应力τmax2发生在M1和M2共同作用下，有：

τmax2 = (M1 + M2) * d2 / (2 * Jx2) = (4.2 + 1.2) * 10^3 * 50 / (2 * 2.21 * 10^4) = 0.0928 MPa

其中，Jx2为截面2的极角惯性矩，计算得到Jx2=2.21×10^4 mm^4。

由于τmax2 < [τ]，所以轴在截面2处强度校核合格。

综上所述，轴的强度校核合格。

(3) 求相对扭转角φAC。

根据弹性力学理论，相对扭转角φAC与轴上的剪应力分布有关，可以通过剪应力分布的积分来求得。在此之前，需要先计算出轴上每个截面的扭转角φi和剪应力τi。

在截面1处，轴的扭转角φ1发生在M2作用下，有：

φ1 = M2 * l1 / (G * Jx1) = 1.2 * 10^3 * 750 / (80 * 2.91 * 10^4) = 0.0133 rad

在截面2处，轴的扭转角φ2发生在M1和M2共同作用下，有：

φ2 = (M1 + M2) * l2 / (G * Jx2) = (4.2 + 1.2) * 10^3 * 500 / (80 * 2.21 * 10^4) = 0.0976 rad

在截面1和截面2之间，剪应力分布不均匀，需要使用剪应力分布的积分来计算相对扭转角。

假设在截面1和截面2之间取一小段长度为Δl的轴段，该轴段的剪应力为τ(x)，则该轴段的相对扭转角为：

dφ = τ(x) * Δl / (G * Jx(x))

对上式两边进行积分，可得相对扭转角φAC为：

φAC = ∫dφ = ∫τ(x) * dx / (G * Jx(x))

由于剪应力分布不均匀，对于不同的截面，Jx(x)和τ(x)的值不同，需要分段计算。假设在截面1和截面2之间取n个轴段，则有：

φAC = ∑(i=1→n) ∫τi * dxi / (G * Jxi)

其中，τi为第i个轴段的平均剪应力，计算公式为：

τi = (τi+1 + τi) / 2

Jxi为第i个轴段的极角惯性矩。

根据上述公式，可以计算出φAC的值。