动态规划求解投资分配问题 - MATLAB实现

首先将问题转化为一个最大化问题，即找到一种分配资本的方案，使得总的年利润增长最大。设 $f(i,j)$ 表示将 $j$ 万元资本投入前 $i$ 个工厂，能够获得的最大年利润增长。则有以下递推式：/n/n$$f(i,j)=/max_{k=0}^j /{f(i-1,j-k)+profit(i,k)/}$$ /n/n其中 $profit(i,k)$ 表示将 $k$ 万元投入第 $i$ 个工厂后，能够获得的年利润增长。具体地，$profit(i,k)$ 可以表示为一个矩阵：/n/n$$profit=/begin{pmatrix} 30 & 50 & 40 // 70 & 100 & 60 // 90 & 110 & 110 // 120 & 110 & 120 // 130 & 110 & 120 /end{pmatrix}$$ /n/n最终的答案即为 $f(3,5)$，即将 500 万元资本分配给三个工厂，能够获得的最大年利润增长。可以使用以下 MATLAB 代码求解：/n/n% 定义 profit 矩阵/nprofit = [30 50 40; 70 100 60; 90 110 110; 120 110 120; 130 110 120];/n/n% 初始化 f 矩阵/nf = zeros(3, 5);/n/n% 递推计算 f 矩阵/nfor i = 1 : 3/n for j = 1 : 5/n for k = 0 : j/n f(i, j) = max(f(i, j), f(i-1, j-k) + profit(i, k+1));/n end/n end/nend/n/n% 输出结果/ndisp(f(3,5)); % 440