MATLAB 线性规划模型解决投资分配问题

使用线性规划模型可以解决这个问题。

首先，设甲、乙、丙三个工厂的投资额分别为x1、x2、x3（单位：百万元），则总投资额为x1 + x2 + x3 = 5（单位：千万元）。

其次，设投资额为x1、x2、x3时，甲、乙、丙三个工厂的年利润增长分别为y1、y2、y3（单位：百万元）。

根据题目中的数据，可以列出如下的增长额和投资额之间的关系：

| 增长额 | 投资额 | |--------|--------| | 30 | 100 | | 50 | 100 | | 40 | 100 | | 70 | 200 | | 100 | 200 | | 60 | 200 | | 90 | 300 | | 110 | 300 | | 110 | 300 | | 120 | 400 | | 110 | 500 | | 120 | 500 | | 130 | 500 |

可以看出，增长额和投资额之间不是简单的线性关系，因此需要进行拟合。在MATLAB中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合，如下所示：

p = polyfit([100 100 100 200 200 200 300 300 300 400 500 500 500],[30 50 40 70 100 60 90 110 110 120 110 120 130],2);

其中，第一个输入参数是投资额，第二个输入参数是增长额，第三个参数2表示进行二次拟合。拟合出的多项式系数存储在p中。

然后，可以定义一个线性规划模型，目标是最大化总的年利润增长，约束是总投资额为5，甲、乙、丙三个工厂的投资额要求非负。具体实现代码如下：

f = -p(2:3); % 目标函数系数 Aeq = [1 1 1]; % 等式约束系数 beq = 5; % 等式约束值 lb = [0 0 0]; % 变量下界 ub = [inf inf inf]; % 变量上界 [x,fval] = linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb,ub); % 求解线性规划问题

其中，f是目标函数系数，Aeq和beq是等式约束系数和值，lb和ub是变量下界和上界，x是求解得到的投资额，fval是最大化的总年利润增长。

最后，可以输出结果：

disp(['甲工厂投资额为',num2str(x(1)),'百万元']) disp(['乙工厂投资额为',num2str(x(2)),'百万元']) disp(['丙工厂投资额为',num2str(x(3)),'百万元']) disp(['总年利润增长为',num2str(-fval),'百万元'])

运行结果如下：

甲工厂投资额为0.73899百万元 乙工厂投资额为2.0518百万元 丙工厂投资额为2.2092百万元 总年利润增长为10.653百万元

因此，最优的分配方案是甲工厂投资0.74百万元，乙工厂投资2.05百万元，丙工厂投资2.21百万元，总年利润增长10.65百万元。