500 万元资本分配方案优化：最大化公司年利润增长

设甲、乙、丙三个工厂分别投入 x、y、z 万元，则有 x+y+z=500。总利润增长量为：

f(x,y,z)=0.3(100+x)+0.5(200+y)+0.4(300+z)+0.7(400+x+y)+1.2(500+x+y+z)-1.0(500)

化简得：

f(x,y,z)=2.2x+3.4y+3.4z+1.9xy+2.9xz+3.1yz

由于投资金额为非负实数，所以该问题是一个线性规划问题，可以使用线性规划算法求解。这里给出最优解：

x=300 万元，y=200 万元，z=0 万元。

即应该将 500 万元全部投入甲和乙两个工厂，不投资丙工厂。此时总利润增长量为：

f(300,200,0)=2.2(300)+3.4(200)+3.4(0)+1.9(300)(200)+2.9(300)(0)+3.1(200)(0)=2440 万元

因此，最优的资本分配方案是将 300 万元投入甲工厂，200 万元投入乙工厂，不投资丙工厂，总利润增长量为 2440 万元。