自变量阈值效应分析：MATLAB代码示例

本文将探讨如何使用逐步回归分析方法研究自变量对因变量的影响阈值效应，并提供MATLAB代码示例。

问题描述:

假设有两个自变量 (X1, X2)，它们与因变量 (Y) 之间存在非线性关系。我们想要研究 X2 对 Y 影响的阈值效应，即在哪个 X2 值范围内，X2 对 Y 的影响会发生显著变化。

解决方法:

逐步回归分析是一种常用的方法，可以用于确定影响因变量的关键自变量。其基本思想是：

从模型中只包含一个自变量开始，观察其对因变量的影响。
逐步添加自变量，每次添加一个，并观察添加后模型的显著性变化。
如果添加某个自变量后模型的显著性发生显著变化，则认为该自变量对因变量有显著影响，且可能存在阈值效应。

MATLAB 代码示例:

以下是使用 MATLAB 进行逐步回归分析的代码示例，并以一个神经网络模型为例进行说明：

% 导入数据
load data.mat

% 定义逐步回归分析函数
function [b,se,pval,inmodel,stats,nextstep,history] = mystepwisefit(X,y,varargin)
%MYSTEPWISEFIT逐步回归分析函数
%   [B,SE,PVAL,INMODEL,STATS,NEXTSTEP,HISTORY] = MYSTEPWISEFIT(X,Y) 对X和Y进行逐步回归分析，
%   返回回归系数B，标准误差SE，p值PVAL，指示变量是否在模型中INMODEL，统计信息STATS，
%   下一步加入的变量NEXTSTEP，历史记录HISTORY。
%   X是自变量矩阵，每列为一个自变量，Y是因变量向量。

% 设置常量
[N,p] = size(X);
if ~isvector(y) || length(y)~=N
    error('Y必须为向量且长度与X的行数相同');
end
if any(isnan(X(:))) || any(isnan(y(:)))
    error('X和Y中不能含有NaN值');
end
if nargin<2 || nargin>4
    error('输入参数数量错误');
end
maxiter = 1000; % 最大迭代次数
alpha = 0.05; % 加入/剔除变量的显著性水平
if nargin>=3
    if isnumeric(varargin{1}) && varargin{1}>0 && varargin{1}<=1
        alpha = varargin{1};
    else
        error('显著性水平必须为0到1之间的数值');
    end
end
if nargin>=4
    if isnumeric(varargin{2}) && varargin{2}>0
        maxiter = varargin{2};
    else
        error('最大迭代次数必须为正整数');
    end
end

% 初始化
inmodel = false(1,p); % 初始模型中无变量
b = zeros(p,1); % 初始回归系数为0
se = zeros(p,1); % 初始标准误差为0
pval = ones(p,1); % 初始p值为1
stats = struct('SSE',[],'MSE',[],'RMSE',[],'R2',[],'F',[],'pF',[]); % 初始统计信息为空
nextstep = 1:p; % 下一步加入的变量为所有变量
history = zeros(maxiter,p); % 记录历史模型

% 迭代
iter = 0;
while iter<maxiter && ~isempty(nextstep)
    iter = iter+1;
    history(iter,:) = inmodel;
    Xstep = X(:,nextstep);
    [bstep,sestep,pvalstep,inmodelstep,statsstep] = ...
        stepwisefit(Xstep,y,'inmodel',inmodel(nextstep),'display','off','alpha',alpha);
    b(nextstep(inmodelstep)) = bstep;
    se(nextstep(inmodelstep)) = sestep;
    pval(nextstep(inmodelstep)) = pvalstep;
    inmodel(nextstep(inmodelstep)) = true;
    stats.SSE = statsstep.SSE;
    stats.MSE = statsstep.MSE;
    stats.RMSE = statsstep.RMSE;
    stats.R2 = statsstep.R2;
    stats.F = statsstep.F;
    stats.pF = statsstep.pF;
    nextstep = find(~inmodel);
end
history(iter+1:maxiter,:) = [];

end

% 执行逐步回归分析
[Xsort,sortidx] = sortrows(X); % 按第一个自变量排序
ysort = y(sortidx);
X1 = Xsort(:,1);
X2 = Xsort(:,2);
Y = ysort;
[b,~,~,inmodel,stats,~,~] = mystepwisefit([X1,X2],Y,0.05,50);

% 绘制变量加入时的R方值变化曲线
R2 = zeros(1,length(inmodel));
for i=1:length(inmodel)
    if inmodel(i)
        R2(i) = stats.R2(end);
    else
        [b,~,~,~,statsstep] = regress(Y,[X1,X2(:,[1:i-1,i+1:end])]);
        R2(i) = statsstep(1);
    end
end
plot(X2,R2,'.-');
xlabel('变量2');
ylabel('R方');

解释:

导入数据: 代码首先从 data.mat 文件中加载自变量和因变量数据。
定义逐步回归分析函数: mystepwisefit 函数实现了逐步回归分析算法。它接受自变量矩阵 X 和因变量向量 y 作为输入，并返回回归系数、标准误差、p 值、模型中的自变量、统计信息、下一步加入的变量以及历史记录。
执行逐步回归分析: 代码使用 mystepwisefit 函数对自变量进行逐步回归分析，并观察模型的显著性变化。
绘制变量加入时的 R 方值变化曲线: 代码绘制了每个自变量加入模型时 R 方值的变化曲线，可以帮助我们直观地观察自变量对模型的影响。

结果:

通过观察 R 方值变化曲线，我们可以找到 X2 对 Y 影响发生显著变化的临界点，即阈值。这个临界点对应于 R 方值曲线出现明显变化的点。

注意:

此代码示例使用了一个简单的线性模型。实际应用中，根据数据特点，可以选择更复杂的模型，如非线性模型或神经网络模型。
逐步回归分析只是确定阈值的一种方法，其他方法，例如决策树、支持向量机等，也可以用于阈值分析。

总结:

本文介绍了如何使用逐步回归分析方法研究自变量对因变量的影响阈值效应，并提供了 MATLAB 代码示例。该方法简单易用，可以帮助我们快速确定影响变量的临界点，从而更深入地理解变量之间的关系。