计算由曲线 y² = x 和 x + y = 2 围成的闭合曲线 L 的弧长

将 y² = x 和 x + y = 2 联立，得到 x = 1，y = 1 或 x = -1，y = -1。因此，曲线 L 由两条线段组成：从 (1, 1) 到 (-1, -1) 和从 (-1, -1) 到 (1, 1)。

我们可以将曲线 L 分成两部分进行计算：

第一部分是从 (1, 1) 到 (-1, -1)。在这个区域内，x 的取值范围从 1 到 -1，y 的取值范围从 1 到 -1。因此，我们可以使用参数方程 x = t，y = t - 2t², 其中 t 从 1 到 -1。

计算得到：

Ly1 = ∫1-1 √(x'(t)² + y'(t)²) dt = ∫1-1 √(1 + 4t²) dt = 2∫01 √(1 + 4t²) dt = 2/4 [t√(1 + 4t²) + ln(√(1 + 4t²) + 1)]1-1 = 1/2 [√5 + ln(√5 + 1)] ≈ 2.958

第二部分是从 (-1, -1) 到 (1, 1)。在这个区域内，x 的取值范围从 -1 到 1，y 的取值范围从 -1 到 1。因此，我们可以使用参数方程 x = t，y = -t + 2t²，其中 t 从 -1 到 1。

计算得到：

Ly2 = ∫-11 √(x'(t)² + y'(t)²) dt = ∫-11 √(1 + 4t²) dt = 2∫01 √(1 + 4t²) dt = 1/2 [√5 + ln(√5 + 1)] ≈ 2.958

因此，Ly = Ly1 + Ly2 = √5 + ln(√5 + 1) ≈ 5.916。