证明4n-1的素数有无穷多个

假设有限个4n-1的素数，我们将它们表示为p1, p2, ..., pk。我们考虑一个数N，该数满足N = 4p1p2...pk - 1。根据费马小定理，对于任意一个素数p，有p整除N^p - N。因此，对于p1, p2, ..., pk中的任意一个素数pi，我们有pi整除N^pi - N。

现在我们来考虑N^p1p2...pk - N = (N^p1 - N)(N^p2 - N)...(N^pk - N)。对于任意一个i，根据上面的结论，pi整除N^pi - N，因此pi整除N^p1p2...pk - N。由此可知，N^p1p2...pk - N至少有k个素因子（即p1, p2, ..., pk）。

另一方面，根据N的定义，N = 4p1p2...pk - 1，因此N + 1 = 4p1p2...pk。由于N + 1是一个奇数，它不可能被2整除。因此，N + 1的素因子中不存在2。由此可知，N + 1的素因子中至少有一个大于2。

综上所述，N^p1p2...pk - N至少有k个素因子且其中至少有一个大于2。因此，存在一个大于2的素数，它不属于p1, p2, ..., pk，即存在一个4n-1的素数，它不属于p1, p2, ..., pk。

由此可证明4n-1的素数有无穷个。