极限计算：lim x→0 (tanx - sinx) / arcsin(x³)

首先，我们可以将给定的表达式化简为： lim(x→0) (tan(x) - sin(x)) / arcsin(x^3)

接下来，我们可以使用泰勒级数展开来近似计算这个极限。

根据泰勒级数展开，我们有以下近似公式： tan(x) ≈ x + (1/3)x^3 + O(x^5) sin(x) ≈ x - (1/6)x^3 + O(x^5) arcsin(x) ≈ x + (1/6)x^3 + O(x^5)

将这些近似公式代入原表达式中，我们得到： lim(x→0) [(x + (1/3)x^3 + O(x^5)) - (x - (1/6)x^3 + O(x^5))] / [(x + (1/6)x^3 + O(x^5))^3]

化简这个表达式，我们得到： lim(x→0) [(1/3)x^3 + (1/6)x^3] / [(x + (1/6)x^3)^3]

进一步化简，我们得到： lim(x→0) [(1/2)x^3] / [x^3(1 + (1/6)x^2)^3] = lim(x→0) (1/2) / (1 + (1/6)x^2)^3

当 x 趋近于 0 时，(1/6)x^2 变得非常小，所以我们可以近似地将其视为 0。因此，我们得到： lim(x→0) (1/2) / (1 + 0)^3 = (1/2) / 1 = 1/2

因此，原极限的值为 1/2。