极限计算：lim x→0 (tanx - sinx) / arcsin(x³) 解答步骤

我们可以使用洛必达法则来求解这个极限。

首先，我们先计算分子的极限： lim(x→0) (tanx - sinx)

由于在x趋近于0的过程中，tanx和sinx都趋近于0，所以这个极限形式是0/0型。

我们可以对分子进行化简： tanx - sinx = sinx/cosx - sinx = sinx(1/cosx - 1) = sinx(1 - cosx)/cosx

然后我们可以继续化简这个极限： lim(x→0) (sinx(1 - cosx)/cosx) = lim(x→0) (sinx/cosx) * (1 - cosx)

接下来，我们计算括号内第一部分的极限： lim(x→0) (sinx/cosx)

这仍然是一个0/0型的极限形式，我们对分子和分母同时除以x，得到： lim(x→0) (sinx/cosx) = lim(x→0) (sinx/x) / (cosx/x)

根据极限的性质，我们知道lim(x→0) (sinx/x) = 1和lim(x→0) (cosx/x) = 1，所以： lim(x→0) (sinx/cosx) = 1/1 = 1

然后，我们继续计算括号外的部分： lim(x→0) (1 - cosx) = 1 - cos(0) = 1 - 1 = 0

因此，我们可以得到整个极限的结果： lim(x→0) (tanx - sinx) = lim(x→0) (sinx/cosx) * (1 - cosx) = 1 * 0 = 0

接下来，我们计算分母的极限： lim(x→0) (arcsin(x^3))

我们可以使用基本极限lim(x→0) (arcsinx)/x = 1来求解这个极限。

我们可以将极限形式表示为： lim(x→0) (arcsin(x^3)) = lim(x→0) (arcsin(x^3))/(x^3) * (x^3)

接下来，我们计算括号外的部分： lim(x→0) (x^3) = 0^3 = 0

然后，我们计算括号内的部分： lim(x→0) (arcsin(x^3))/(x^3)

我们可以使用基本极限lim(x→0) (arcsinx)/x = 1来计算这个极限。将极限形式表示为： lim(x→0) (arcsin(x^3))/(x^3) = lim(x→0) (arcsin(x^3))/(x^3) * (1/x)

然后，我们计算括号外的部分： lim(x→0) (1/x) = 1/0 = 无穷大

最后，我们计算括号内的部分： lim(x→0) (arcsin(x^3))/(x^3) = 1

因此，整个极限的结果为： lim(x→0) (arcsin(x^3)) = 1 * 0 = 0

综上所述，lim(x→0) (tanx - sinx)/(arcsin(x^3)) = 0/0 = 0