一元正态分布方差似然比检验：推导与精确分布 (非Wilks定理)

假设我们有N个独立样本$x_1, x_2, ..., x_N$，假设样本均值为$/mu$，样本方差为$/sigma^2$。/n/n首先，我们需要建立原假设和备择假设。假设原假设为$/sigma^2=/sigma_0^2$，备择假设为$/sigma^2/neq/sigma_0^2$，其中$/sigma_0^2$是一个已知的方差值。/n/n然后，我们需要构建似然函数。根据正态分布的概率密度函数，样本$x_1, x_2, ..., x_N$的似然函数为：/n/n$L(/sigma^2) = /prod_{i=1}^{N}/frac{1}{/sqrt{2/pi/sigma^2}}e^{-/frac{(x_i-/mu)^2}{2/sigma^2}}$/n/n接下来，我们需要对似然函数取对数，得到对数似然函数：/n/n$ln L(/sigma^2) = -/frac{N}{2}ln(2/pi) - /frac{N}{2}ln(/sigma^2) - /frac{1}{2/sigma^2}/sum_{i=1}^{N}(x_i-/mu)^2$/n/n接下来，我们需要构建似然比检验统计量。似然比检验统计量是原假设下的似然函数与备择假设下的似然函数的比值。在本题中，原假设下的似然函数为$L(/sigma_0^2)$，备择假设下的似然函数为$L(/hat{/sigma^2})$，其中$/hat{/sigma^2}$是在似然函数取最大值时的估计值。/n/n似然比检验统计量为：/n/n$/Lambda = /frac{L(/sigma_0^2)}{L(/hat{/sigma^2})}$ /n/n由于我们对似然函数取了对数，所以似然比检验统计量可以改写为：/n/n$/Lambda = /frac{ln L(/sigma_0^2)}{ln L(/hat{/sigma^2})}$ /n/n接下来，我们需要推导似然比检验统计量的精确分布。由于我们是在原假设下对似然函数取对数，所以可以使用对数似然比检验统计量的渐近分布来进行推导。/n/n根据渐近理论，当样本量N趋于无穷大时，对数似然比检验统计量的分布趋近于卡方分布，自由度为1。因此，我们可以使用卡方分布进行近似。/n/n最后，我们可以根据似然比检验统计量和卡方分布的关系，进行假设检验。具体来说，我们可以计算似然比检验统计量的值，然后根据卡方分布的分位数，确定拒绝域和接受域。/n/n以上是一元正态分布方差对于N个独立样本的似然比检验统计量以及其精确分布的推导过程。