一元正态分布方差的似然比检验：统计量推导及精确分布

假设我们有N个独立样本的一元正态分布，其中样本均值为X̄，样本方差为S²，总体均值为μ，总体方差为σ²。

在零假设下，我们假设总体方差为某个已知的值σ₀²。我们要检验的是总体方差是否等于σ₀²。

似然比检验的思想是比较在零假设下的似然函数与在备择假设下的似然函数，从而得到一个统计量，以此来进行假设检验。

首先，我们先假设总体方差为σ₀²。在零假设下，我们可以计算出似然函数L₀(σ₀²)：

L₀(σ₀²) = (1/(2πσ₀²)^(N/2)) * exp(-N/2)

接下来，我们假设总体方差为未知的值σ²。在备择假设下，我们可以计算出似然函数L(σ²)：

L(σ²) = (1/(2πσ²)^(N/2)) * exp(-N/2 * (S²/σ²))

根据似然比检验的定义，我们可以计算出似然比统计量：

λ = L(σ²)/L₀(σ₀²) = (1/(2πσ²)^(N/2)) * exp(-N/2 * (S²/σ²)) / (1/(2πσ₀²)^(N/2)) * exp(-N/2) = (σ₀²/σ²)^(N/2) * exp(-N/2 * (S²/σ²))

根据似然比统计量的定义，我们可以看出它仅与样本方差S²和零假设下的方差σ₀²有关。

接下来，我们需要推导似然比统计量的精确分布。

假设零假设成立，我们可以将似然比统计量的对数取负值，即取-2ln(λ)。根据Wilks定理，当样本量N趋近于无穷大时，-2ln(λ)的分布近似服从自由度为N的卡方分布。

因此，在零假设下，似然比检验的统计量-2ln(λ)近似服从自由度为N的卡方分布。

这样，我们就完成了一元正态分布方差对于N个独立样本的似然比检验统计量以及其精确分布的推导。