绝对收敛级数的收敛性证明

设级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$的部分和序列为${S_n}$，级数$\sum_{n=1}^\infty |a_n|$的部分和序列为${T_n}$。

如果级数$\sum_{n=1}^\infty |a_n|$收敛，即$\lim_{n \to \infty} T_n$存在，则有： $$\lim_{n \to \infty} T_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n |a_k|$$ 由级数的收敛性知道，$\lim_{n \to \infty} S_n$存在，即$\lim_{n \to \infty} S_n = S$。

现在要证明$\lim_{n \to \infty} S_n = S$，即要证明对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正整数$N$，使得当$n > N$时，$|S_n - S| < \epsilon$。

由于$\lim_{n \to \infty} T_n$存在，根据收敛的定义，对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正整数$N_1$，使得当$n > N_1$时，$|T_n - \lim_{n \to \infty} T_n| < \epsilon$。令$\lim_{n \to \infty} T_n = T$。

由于级数$\sum_{n=1}^\infty |a_n|$的部分和序列${T_n}$收敛，所以${T_n}$是一个有界序列，即存在正数$M$，使得对于任意的$n$有$|T_n| \leq M$。

由于${T_n}$是有界序列，所以对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正整数$N_2$，使得当$n > N_2$时，$|T_n| < M + \epsilon$。

取$N = \max{N_1, N_2}$，则当$n > N$时，有： $$|S_n - S| = |S_n - T_n + T_n - S| \leq |T_n - T| + |S_n - T_n| < \epsilon + (M + \epsilon) = 2\epsilon + M$$ 由于$\epsilon$是任意给定的正数，所以当$n > N$时，$|S_n - S| < 2\epsilon + M$，即$\lim_{n \to \infty} S_n = S$。

综上所述，如果级数$\sum_{n=1}^\infty |a_n|$收敛，则级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$也收敛。