高斯顺序消去法失效，但高斯列主元消去法有效的线性方程组示例

一个高斯顺序消去法不能进行，但高斯列主元消去法能进行的线性方程组的示例如下：

2x + 3y + 4z = 10 4x + 6y + 8z = 20 6x + 9y + 12z = 30

在高斯顺序消去法中，第一步将第一行的倍数减去第二行和第三行，得到：

2x + 3y + 4z = 10 0x + 0y + 0z = 0 0x + 0y + 0z = 0

由于第二行和第三行的方程是重复的，所以无法得到唯一解。

然而，在高斯列主元消去法中，我们选择主元时会选择系数绝对值最大的元素作为主元。在这个例子中，选择第一列的第一个元素2作为主元。通过交换第一行和第二行，我们得到：

4x + 6y + 8z = 20 2x + 3y + 4z = 10 6x + 9y + 12z = 30

然后，我们可以使用高斯列主元消去法进行消去操作。最终，我们得到：

4x + 6y + 8z = 20 0x + 0y + 0z = 0 0x + 0y + 0z = 0

在这种情况下，我们可以看到第一行的方程是非零的，而第二行和第三行的方程是重复的。因此，这个线性方程组在高斯列主元消去法下有唯一解。