析取范式唯一性证明 - 逻辑公式的等价性

假设有一个公式 F，它的析取范式可以表示为 D1 或 D2 或 ... 或 Dn（其中 Di 表示一个由原子命题或它们的否定组成的合取式），并且还有另外一种析取范式 E1 或 E2 或 ... 或 Em 可以表示 F。

我们需要证明的是，这两种析取范式是等价的，即它们表示的是同一个逻辑表达式。

首先，我们注意到每个合取式 Di 和 Ej 都表示 F 的一个真值赋值，因为它们都是 F 的合取式，而每个真值赋值要么满足至少一个 Di，要么满足至少一个 Ej。因此，我们可以得到以下两个结论：

1. 对于任何真值赋值，如果它满足某个 Di，则它必须不满足所有的 Ej（因为 Ej 表示的真值赋值不包含在 Di 中）。

2. 对于任何真值赋值，如果它满足某个 Ej，则它必须不满足所有的 Di（因为 Di 表示的真值赋值不包含在 Ej 中）。

接下来，我们假设存在一个真值赋值，它既满足某个 Di，又满足某个 Ej。这意味着它是 F 的两个真值赋值，这与 F 的析取范式唯一性相矛盾。因此，不存在这样的真值赋值，即 Di 和 Ej 中的任意两个合取式表示的真值赋值是不相交的。

由于 Di 和 Ej 的真值赋值是不相交的，我们可以将它们合并成一个新的析取范式 D1 或 D2 或 ... 或 Dn 或 E1 或 E2 或 ... 或 Em。这个新的析取范式与 F 等价，因为它包含了所有满足 F 的真值赋值，而且不包含任何不满足 F 的真值赋值。因此，我们得出结论：F 的析取范式唯一。