对称幂等矩阵的定义与证明 - 线性代数

对称幂等矩阵是指满足以下两个条件的矩阵：

1. 矩阵的转置等于矩阵本身，即X' = X。
2. 矩阵的平方等于矩阵本身，即X^2 = X。

要证明矩阵X是对称幂等矩阵，需要证明上述两个条件。

首先证明X' = X：

由题意得，X是n×p矩阵，即X的行数为n，列数为p。则X'的行数为p，列数为n。由于X' = X，所以X的行数应等于X'的列数，即n = p。因此，X是一个方阵，即n = p。

然后证明X^2 = X：

由题意得，X是n×p矩阵，所以X^2的行数和列数都是n。即X^2是一个n×n矩阵。根据矩阵乘法的定义，X^2的第(i,j)个元素可以表示为X的第i行与X的第j列的乘积之和，即(X^2)ij = ∑(Xik * Xkj)，其中k的取值范围是1到p。

由于X是一个对称矩阵，所以X的第i行与第j列的乘积等于X的第j行与第i列的乘积，即Xij = Xji。因此，(X^2)ij = ∑(Xik * Xkj) = ∑(Xik * Xjk) = (X^2)ji，即X^2是一个对称矩阵。

综上所述，矩阵X既满足X' = X，又满足X^2 = X，因此X是一个对称幂等矩阵。