次高价拍卖成交价期望与方差公式推导

假设有 $n$ 个竞拍人，他们的估价分别为 $v_1, v_2, //cdots, v_n$，其中 $v_i$ 是第 $i$ 个竞拍人对拍卖品的估价。设第 $k$ 个竞拍人出价为 $b_k$，则次高价为 $S=//max/{b_1, b_2, //cdots, b_{k-1}, b_{k+1}, //cdots, b_n/}$。/n/n设拍卖品的真实价值为 $v$，则每个竞拍人的出价可以看作是对 $v$ 的估计值与一个误差项的和，即 $b_i=v+//epsilon_i$，其中 $//epsilon_i$ 表示第 $i$ 个竞拍人对 $v$ 的误差。/n/n假设 $//epsilon_1, //epsilon_2, //cdots, //epsilon_n$ 是独立同分布的随机变量，且服从均值为 $0$，方差为 $//sigma^2$ 的正态分布，即 $//epsilon_i //sim N(0, //sigma^2)$。/n/n则次高价的期望为：/n/n$$//begin{aligned}//mathbb{E}(S) &= //mathbb{E}(//max/{b_1, b_2, //cdots, b_{k-1}, b_{k+1}, //cdots, b_n/})//// &= //mathbb{E}(//max/{v+//epsilon_1, v+//epsilon_2, //cdots, v+//epsilon_{k-1}, v+//epsilon_{k+1}, //cdots, v+//epsilon_n/})//// &= //mathbb{E}(//max/{//epsilon_1, //epsilon_2, //cdots, //epsilon_{k-1}, //epsilon_{k+1}, //cdots, //epsilon_n/}+v) //// &= //mathbb{E}(//max/{//epsilon_1, //epsilon_2, //cdots, //epsilon_{k-1}, //epsilon_{k+1}, //cdots, //epsilon_n/}) + //mathbb{E}(v) //// &= //frac{n-1}{n} //cdot //sigma //sqrt{//frac{2}{//pi}} + //mathbb{E}(v)//end{aligned}$$/n/n其中第二步到第三步使用了最大值的平移不变性，即对于任意常数 $c$，$//max/{a_1+c, a_2+c, //cdots, a_n+c/}=//max/{a_1, a_2, //cdots, a_n/}+c$。/n/n次高价的方差为：/n/n$$//begin{aligned}//operatorname{Var}(S) &= //operatorname{Var}(//max/{b_1, b_2, //cdots, b_{k-1}, b_{k+1}, //cdots, b_n/})//// &= //operatorname{Var}(//max/{v+//epsilon_1, v+//epsilon_2, //cdots, v+//epsilon_{k-1}, v+//epsilon_{k+1}, //cdots, v+//epsilon_n/})//// &= //operatorname{Var}(//max/{//epsilon_1, //epsilon_2, //cdots, //epsilon_{k-1}, //epsilon_{k+1}, //cdots, //epsilon_n/})//// &= //frac{(n-1)//sigma^2}{n^2} //left(//pi-2+//frac{2}{n-1}//right)//end{aligned}$$/n/n其中第二步到第三步同样使用了最大值的平移不变性，第四步使用了最大值的方差公式：$//operatorname{Var}(//max/{X_1, X_2, //cdots, X_n/})=//frac{2}{//pi}(//operatorname{Var}(X_1)+//operatorname{Var}(X_2)+//cdots+//operatorname{Var}(X_n))$。/n/n综上所述，次高价拍卖的成交价期望为 $//frac{n-1}{n} //cdot //sigma //sqrt{//frac{2}{//pi}} + //mathbb{E}(v)$，方差为 $//frac{(n-1)//sigma^2}{n^2} //left(//pi-2+//frac{2}{n-1}//right)$。